Analyse de l'énoncé : Transformations et Algorithmique au DNB 2022

Cet exercice, issu du Brevet 2022 (Métropole), combine deux notions fondamentales du programme de 3ème : la géométrie et les transformations d'une part, et l'algorithmique et la programmation d'autre part. Il teste la capacité de l'élève à utiliser les propriétés des figures planes (triangles équilatéraux, cerfs-volants) et à décomposer un dessin en une séquence d'instructions de déplacement et de rotation.

Partie A : Géométrie et Transformations

1. Calcul d'angle : L'énoncé stipule que le triangle SLP est équilatéral. Par définition, tous les angles internes d'un triangle équilatéral mesurent $60^\circ$. Ainsi, l'angle $\widehat{ ext{PSL}}$ est égal à $60^\circ$.

2. Symétrie axiale : La symétrie d'axe (PL) agit comme un miroir le long de la diagonale PL. Le cerf-volant 2 est adjacent au cerf-volant 3 le long de cet axe. L'image du cerf-volant 2 par la symétrie d'axe (PL) est le cerf-volant 3.

3. Rotation : La transformation qui fait passer le cerf-volant 1 au cerf-volant 6 implique un changement de position autour d'un point central (l'intersection des diagonales du quadrilatère SLAP, notée J). Le cerf-volant 1 et le cerf-volant 6 sont diamétralement opposés dans le pavage. Il s'agit donc d'une rotation de $180^\circ$ (demi-tour) centrée au point d'intersection J.

Partie B : Programmation et Cerf-Volant

L'objectif est de tracer un cerf-volant, figure caractérisée par deux paires de côtés adjacents de même longueur. Dans cet exercice, les longueurs sont 300 pas et 173 pas. La séquence de côtés doit donc être alternée (ex: 173, 300, 173, 300) pour former un cerf-volant fermé.

• Analyse de Nicolas : Son programme n'utilise qu'une seule longueur (300) et trop peu d'étapes. Il est incorrect.
• Analyse de Essya : Son programme utilise les longueurs 300, 173, 173, 300. Il ne respecte pas la structure alternée requise pour le cerf-volant (deux paires de côtés adjacents égaux). Il est incorrect.
• Analyse de Tyago : Son programme utilise la séquence de côtés (173, 300, 173, 300), ce qui correspond à la structure d'un cerf-volant. La somme des angles de rotation externes doit être $360^\circ$ pour que la figure soit fermée. Les rotations proposées sont $60^\circ$, $90^\circ$ et $120^\circ$. La somme de ces trois rotations est $270^\circ$. Le polygone étant un quadrilatère (4 côtés), la quatrième rotation nécessaire pour fermer la figure et revenir à l'orientation initiale est $360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$. Tyago est l'élève ayant écrit le script correct.