Analyse de l'énoncé et Contexte Mathématique

Cet exercice, tiré de la session du Brevet 2016 (Amérique du Sud), utilise le cadre mythique du stade Maracanã pour tester votre maîtrise de deux notions fondamentales : la Proportionnalité linéaire (échelle) et l'impact de cette échelle sur les Aires et Périmètres. Il s'agit d'appliquer un facteur de réduction précis (1/300) à la fois sur les longueurs et sur la superficie.

Points clés et Méthode de Résolution

1. Application de l'Échelle (Question 1)

Lorsqu'on effectue une reproduction à l'échelle $k$, toutes les longueurs sont multipliées par ce facteur $k$. Ici, l'échelle est $k = 1/300$.

• Conversion d'unités : Les dimensions initiales sont en mètres (m), mais la réponse est demandée en centimètres (cm). Il est impératif de faire attention à la conversion ($1 ext{ m} = 100 ext{ cm}$).
• Calcul : Les nouvelles dimensions sont trouvées en multipliant les dimensions réelles (en cm) par $1/300$. Il faudra ensuite arrondir le résultat au centimètre près, conformément à la consigne.

2. Proportionnalité des Aires (Question 2.a)

C'est souvent le piège de ce type d'exercice ! Si les longueurs sont réduites par un facteur $k$, alors les aires (superficies) sont réduites par un facteur $k^2$.

• Facteur d'aire : Pour une échelle $k = 1/300$, le facteur d'aire est $k^2 = (1/300)^2 = 1/90 000$.
• Calcul de la superficie : La superficie de la reproduction $A'$ est obtenue par la formule $A' = A_{ ext{réelle}} imes k^2$. La superficie est donnée en $ ext{m}^2$ (environ $69 500 ext{ m}^2$) et le résultat doit être arrondi au centième de $ ext{m}^2$.

3. Justification Spatiale (Question 2.b)

La dernière question est une application directe du résultat précédent. Il suffit de comparer la superficie calculée de la sculpture (en $ ext{m}^2$) avec l'espace disponible de $1 ext{ m}^2$. Une brève justification basée sur cette comparaison valide ou non la possibilité de réaliser l'œuvre. Cet exercice confirme l'importance de différencier le traitement des longueurs et des aires lors de l'utilisation des échelles et des réductions.