Analyse de l'énoncé et thématiques abordées
Cet exercice, bien qu'issu initialement d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales pour la classe de Première Spécialité Mathématiques. Il se compose de deux affirmations à évaluer (Vrai/Faux) avec une exigence stricte de justification. La première partie traite des polynômes du second degré et de la reconnaissance des identités remarquables, tandis que la seconde partie sollicite des compétences de conversion de grandeurs physiques, essentielles pour le calcul de vitesse et la manipulation d'unités.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les points suivants :
- Identités remarquables : La reconnaissance immédiate de la forme $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
- Équations du second degré : Comprendre qu'un carré est nul si et seulement si son argument est nul.
- Conversions d'unités : Passer des kilomètres par heure (km/h) aux mètres par seconde (m/s) en utilisant le facteur de conversion 3,6.
- Rigueur de la justification : Une réponse sans démonstration (calcul ou contre-exemple) ne peut être validée.
Correction détaillée et Guide de résolution
Analyse de l'Affirmation 1 : L'expression proposée est $E = n^2 - 6n + 9$. On reconnaît ici la forme développée d'une identité remarquable. En posant $a = n$ et $b = 3$, nous avons $(n-3)^2 = n^2 - 2 \times n \times 3 + 3^2 = n^2 - 6n + 9$. L'expression est donc équivalente à $(n-3)^2$. Cherchons si cette expression peut être égale à 0. L'équation $(n-3)^2 = 0$ équivaut à $n - 3 = 0$, soit $n = 3$. Puisque 3 est un nombre entier naturel ($3 \in \mathbb{N}$), il existe bien une valeur de $n$ pour laquelle l'expression est nulle. L'affirmation 1 est donc FAUSSE.
Analyse de l'Affirmation 2 : Pour comparer deux vitesses, elles doivent être exprimées dans la même unité. Convertissons la vitesse du faucon pèlerin (180 km/h) en m/s.
Méthode : $180 \text{ km/h} = \frac{180 \times 1000 \text{ mètres}}{3600 \text{ secondes}} = \frac{180}{3,6} = 50 \text{ m/s}$.
Comparaison : La vitesse du faucon est de 50 m/s, alors que celle du ballon est de 51 m/s. Puisque $50 < 51$, le ballon est plus rapide que le faucon. L'affirmation 2 est donc FAUSSE.
Ouverture vers le programme de Première
En Première Spécialité, l'affirmation 1 pourrait être traitée via le calcul du discriminant $\Delta$. Pour $n^2 - 6n + 9$, on a $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$. Un discriminant nul indique l'existence d'une racine unique $x_0 = -b/2a = 6/2 = 3$. Cela confirme que le polynôme s'annule pour $n=3$.