Analyse de l'énoncé
L'exercice porte sur l'étude d'une fonction modélisant la trajectoire d'un saut en moto-cross. Il s'agit d'une fonction du second degré sous forme factorisée. L'objectif est de vérifier des affirmations concernant la hauteur du saut en fonction du temps. Les questions impliquent le développement de l'expression de la fonction, l'interprétation graphique et le calcul d'images et d'antécédents.
Points de vigilance
- Développement et Réduction : Maîtrise des identités remarquables et des règles de développement.
- Interprétation Graphique : Compréhension des représentations graphiques de fonctions, notamment la parabole.
- Calcul d'Images et d'Antécédents : Savoir calculer
h(t) pour une valeur donnée de t et résoudre l'équation h(t) = y.
Correction détaillée
1. Développement de h(t) :
Pour développer l'expression de h(t), on effectue le produit :
h(t) = (-5t - 1.35)(t - 3.7) = -5t² + 18.5t + 4.995
L'affirmation est donc fausse.
2. Hauteur initiale :
La hauteur initiale est la hauteur au moment où Gaëtan quitte la rampe, c'est-à-dire quand t = 0. On calcule h(0) :
h(0) = (-1.35)(-3.7) = 4.995
L'affirmation est donc fausse. La hauteur initiale est d'environ 4.995 mètres.
3. Durée du saut :
La fonction est définie jusqu'à t = 3.7 (d'après l'énoncé et le graphique). Le saut dure donc 3.7 secondes. L'affirmation est donc vraie.
4. Antécédent de 3.77 :
On cherche à savoir si 3,5 est un antécédent de 3,77. On calcule h(3.5) :
h(3.5) = (-5 * 3.5 - 1.35)(3.5 - 3.7) = (-18.85)*(-0.2) = 3.77
L'affirmation est donc vraie.
5. Hauteur maximale :
La fonction est une parabole tournée vers le bas. Le sommet de la parabole donne la hauteur maximale. L'abscisse du sommet est t = (-b/2a) = -18.5 / (2 * -5) = 1.85. Donc Gaëtan atteint la hauteur maximale après 1.85 secondes. L'affirmation est donc fausse.