Analyse de l'énoncé
Cet exercice, extrait du sujet Amérique du Nord 2016, propose une mise en situation concrète autour du fonctionnement d'un télésiège en station de ski. Bien que d'apparence simple, il mobilise des compétences fondamentales de la classe de Première Spécialité : la gestion des grandeurs composées (vitesse et débit), la conversion d'unités temporelles et l'utilisation de la trigonométrie dans un triangle rectangle pour modéliser une pente.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser plusieurs aspects du programme :
- Calcul de débit : Comprendre que le débit est une multiplication du flux par la durée totale de fonctionnement.
- Cinématique : Utiliser la relation fondamentale $d = v \times t$ en faisant attention à la cohérence des unités (mètres, secondes, m/s).
- Trigonométrie : Identifier le triangle rectangle formé par l'altitude (côté opposé) et la longueur du câble (hypoténuse). Il est crucial de calculer la différence d'altitude avant d'appliquer la fonction sinus.
- Conversions : Savoir passer d'un temps décimal en secondes vers un format sexagésimal (minutes/secondes).
Correction détaillée
1. Nombre de skieurs sur une journée
Le télésiège fonctionne de 9h à 16h, soit une durée de $16 - 9 = 7$ heures. Le débit maximum est de $3000$ skieurs par heure. Le calcul est direct : $3000 \times 7 = 21\,000$. En une journée, $21\,000$ skieurs peuvent emprunter l'installation.
2. Durée du trajet
On utilise la formule $t = \frac{d}{v}$. Ici, la distance $d = 1453$ m et la vitesse $v = 5,5$ m/s.
$t = \frac{1453}{5,5} \approx 264,18$ secondes.
Pour convertir en minutes et secondes : $264 = 4 \times 60 + 24$. Le trajet dure donc environ 4 minutes et 24 secondes.
3. Calcul de l'angle d'inclinaison
Considérons le triangle rectangle formé par le trajet du télésiège. Le côté opposé à l'angle recherché est la différence d'altitude : $2261 - 1839 = 422$ mètres. L'hypoténuse est la distance parcourue : $1453$ mètres.
On a donc : $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{422}{1453}$.
En utilisant la calculatrice (Arctan/$\\sin^{-1}$), on trouve un angle d'environ $16,87^\circ$. L'angle formé avec l'horizontale est donc de $17^\circ$ (arrondi au degré).
Ouverture vers la Spécialité Première
En Première Spécialité, la trigonométrie s'élargit au cercle trigonométrique et aux fonctions sinus/cosinus. Cet exercice constitue un excellent rappel sur l'utilisation du sinus dans des configurations géométriques réelles, une base nécessaire avant d'aborder les mesures d'angles en radians et les équations trigonométriques complexes.