Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu d'une session de 2016, constitue un excellent support pour réviser la géométrie dans l'espace et la modélisation mathématique en classe de Première Spécialité. Il sollicite la capacité de l'élève à extraire des données numériques d'un document complexe (recette et caractéristiques techniques d'un récipient) et à les articuler pour répondre à une problématique concrète de volume et de proportionnalité.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont fondamentales :
- La proportionnalité : Passer d'une recette pour 6 personnes à une prévision pour 20 personnes nécessite l'usage d'un coefficient multiplicateur (produit en croix ou passage par l'unité).
- La géométrie spatiale : Connaître la formule du volume de la sphère et comprendre qu'un récipient en forme de demi-sphère requiert de diviser ce volume par deux.
- Les conversions d'unités : C'est souvent ici que se cachent les erreurs. Il est impératif de maîtriser le passage des centilitres (cl) aux litres (L), puis des centimètres cubes (cm³) aux décimètres cubes (dm³) et enfin aux litres. Rappel : $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$.
Correction détaillée et guide de résolution
Étape 1 : Calcul du volume total de cocktail pour 20 personnes.
Commençons par additionner les ingrédients pour 6 personnes : $60 + 30 + 12 + 12 = 114 \text{ cl}$.
Pour 20 personnes, on applique un coefficient de $20/6$ (soit $10/3$).
Volume requis : $V_{\text{total}} = 114 \times \frac{20}{6} = 114 \times \frac{10}{3} = 380 \text{ cl}$.
Convertissons en litres : $380 \text{ cl} = 3,8 \text{ L}$.
Étape 2 : Calcul du volume du récipient.
Le récipient est une demi-sphère de diamètre $26 \text{ cm}$, donc de rayon $r = 13 \text{ cm}$.
La formule du volume d'une sphère est $V = \frac{4}{3} \pi r^3$. Pour une demi-sphère, on a :
$V_{\text{récipient}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \times 13^3 = \frac{2}{3} \pi \times 2197$.
$V_{\text{récipient}} \approx 4601,39 \text{ cm}^3$.
Étape 3 : Conversion et conclusion.
Puisque $1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ L}$, le volume du récipient est d'environ $4,6 \text{ L}$ (ou $4,601$ dm³).
En comparant les deux valeurs : $4,6 \text{ L} > 3,8 \text{ L}$.
Conclusion : Le récipient choisi par Romane est donc assez grand pour préparer le cocktail pour 20 personnes.
Analyse critique pour la Première Spécialité
En Spécialité Mathématiques, on attend une rédaction rigoureuse. L'utilisation de la valeur exacte de $\pi$ jusqu'à la conclusion finale est recommandée pour éviter les erreurs d'arrondi intermédiaires. La gestion des unités est un pilier de la physique-chimie et des mathématiques appliquées, cet exercice est donc un parfait rappel des fondamentaux avant d'aborder des notions plus complexes comme les produits scalaires dans l'espace ou l'optimisation par la dérivation.