Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, mobilise des compétences fondamentales de calcul numérique et de raisonnement proportionnel indispensables en classe de Première Spécialité. Il s'agit de décomposer une unité (la surface terrestre) en plusieurs sous-ensembles (continents, océans) et d'appliquer des opérateurs multiplicatifs sur des fractions. En mathématiques de spécialité, ce type de structure se retrouve quasi systématiquement dans l'étude des probabilités conditionnelles, où l'on calcule la probabilité d'une intersection à l'aide de 'la fraction d'une fraction'.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il est crucial de maîtriser les points suivants :
- La notion de complémentarité : Si les continents occupent une fraction $f$, la surface restante occupe $1 - f$.
- La multiplication de fractions : Prendre une fraction d'une autre quantité revient à multiplier les deux valeurs.
- L'équation de proportionnalité : Savoir que si une partie $P$ représente une fraction $x$ du total $T$, alors $T = P / x$.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de la fraction de l'océan Pacifique :
On sait que les continents occupent $\frac{5}{17}$ de la Terre. La superficie restante (les océans) représente donc :
$1 - \frac{5}{17} = \frac{17}{17} - \frac{5}{17} = \frac{12}{17}$.
L'océan Pacifique occupe la moitié de ce reste. On effectue donc le calcul suivant :
$\frac{1}{2} \times \frac{12}{17} = \frac{1 \times 12}{2 \times 17} = \frac{12}{34} = \frac{6}{17}$.
L'océan Pacifique occupe donc $\frac{6}{17}$ de la superficie totale de la Terre.
2. Détermination de la superficie totale de la Terre :
On note $S$ la superficie totale. D'après l'énoncé, $\frac{6}{17}$ de $S$ est égal à $180\,000\,000$ km².
On pose l'équation : $\frac{6}{17} \times S = 180\,000\,000$.
Pour trouver $S$, on isole l'inconnue :
$S = 180\,000\,000 \div \frac{6}{17}$
$S = 180\,000\,000 \times \frac{17}{6}$
$S = 30\,000\,000 \times 17$
$S = 510\,000\,000$ km².
La superficie totale de la Terre est donc de 510 millions de kilomètres carrés.