Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2016, est un excellent support pour réviser les fondements des probabilités et des probabilités conditionnelles du programme de Première Spécialité. L'énoncé présente un tableau croisé d'effectifs (tableau à double entrée) portant sur le contrôle qualité de deux usines (A et B). La clé de la réussite réside dans la lecture attentive de la population de référence pour chaque question.

Points de vigilance et notions requises

• Probabilités conditionnelles : Il est crucial de distinguer si l'on travaille sur la population totale (1000 composants) ou sur une sous-population (usine A uniquement, ou composants défectueux uniquement).
• Calcul de pourcentages : Une bonne maîtrise des rapports est nécessaire pour comparer les taux de défauts aux seuils de qualité imposés.
• Rigueur dans la rédaction : Nommer les événements (ex: A pour 'le composant vient de l'usine A') permet de structurer la réponse.

Correction détaillée

1. Probabilité qu'un composant de l'usine A soit défectueux :
Ici, la population de référence est l'ensemble des composants de l'usine A, soit 500 composants. Le nombre de composants défectueux dans cette usine est de 27.
La probabilité est donc : $P = \frac{27}{500} = \frac{54}{1000} = 0,054$.

2. Probabilité qu'un composant défectueux provienne de l'usine A :
La population de référence change : on ne regarde que les composants défectueux. Le nombre total de défectueux est $27 + 38 = 65$. Parmi eux, 27 viennent de l'usine A.
La probabilité est : $P = \frac{27}{65} \approx 0,415$.

3. Évaluation du contrôle qualité :
Pour l'usine A, le taux est de $5,4\%$. Comme $5,4\% < 7\%$, le critère est respecté pour l'usine A.
Pour l'usine B, calculons le taux : $\frac{38}{500} = \frac{76}{1000} = 0,076$, soit $7,6\%$.
Comme $7,6\% > 7\%$, le contrôle n'est pas satisfaisant car l'une des deux usines dépasse le seuil fixé.