Analyse de l'énoncé

Cet exercice propose une étude de modélisation géométrique classique : le partage d'une longueur fixe (une ficelle de 20 cm) pour former deux figures distinctes (un carré et un triangle équilatéral). L'objectif est d'exprimer les aires de ces polygones en tant que fonctions de la position du point de découpe, ce qui mène naturellement à l'étude de fonctions du second degré.

Points de vigilance et notions de cours

• Périmètre et côté : Pour un carré de périmètre $x$, le côté est $c = \frac{x}{4}$ et l'aire est $A_1(x) = (\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{16}$.
• Triangle équilatéral : Pour un triangle de périmètre $(20-x)$, le côté est $a = \frac{20-x}{3}$. L'aire d'un triangle équilatéral est donnée par la formule $A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.
• Lecture graphique : Il faut savoir identifier quelle courbe correspond à quelle fonction en observant les variations (la courbe A croît avec $x$, la courbe B décroît car elle dépend de $20-x$).

Guide de résolution détaillé

Partie 1 : Cas particulier
Si le morceau n°1 mesure 8 cm, le côté du carré est $8 / 4 = 2$ cm. L'aire du carré est donc $2^2 = 4$ cm². Le morceau n°2 mesure $20 - 8 = 12$ cm. Le côté du triangle équilatéral est $12 / 3 = 4$ cm. En utilisant la formule de l'aire, on obtient environ $6,9$ cm².

Partie 2 : Modélisation fonctionnelle
1. La formule de l'aire du carré en fonction de $x$ est $f(x) = \frac{x^2}{16}$. C'est une fonction polynôme du second degré.
2. Lecture graphique :
a) Pour obtenir une aire de 14 cm² avec le triangle (Courbe B), on cherche l'antécédent de 14 sur l'axe des ordonnées. On lit environ $x = 3$ cm (le morceau n°1 doit être court pour que le morceau n°2, utilisé pour le triangle, soit long).
b) L'égalité des aires correspond à l'intersection des deux courbes. Graphiquement, le point d'intersection se situe à une abscisse d'environ $9,5$ cm.

Approfondissement pour la Première Spécialité

Bien que cet exercice soit issu d'un sujet de troisième, il constitue une excellente introduction aux problèmes d'optimisation de Première. Un prolongement classique consisterait à chercher la valeur de $x$ qui minimise la somme des deux aires en étudiant la dérivée de la fonction $S(x) = A_{carré}(x) + A_{triangle}(x)$.