Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une excellente base de révision pour le programme de Première Spécialité en géométrie. Il permet de travailler la vision dans l'espace, la manipulation des solides et les calculs de grandeurs fondamentales. L'objectif est d'étudier une pyramide particulière, FIJK, extraite d'un cube ABCDEFGH de côté 6 cm. Les points I, J et K sont définis comme les milieux des arêtes respectives, ce qui simplifie les calculs de longueurs mais nécessite une bonne rigueur géométrique.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont mobilisables :
- Propriétés du cube : Reconnaître que toutes les faces sont des carrés et que les arêtes issues d'un même sommet sont deux à deux orthogonales.
- Théorème de Pythagore : Indispensable pour calculer les longueurs des segments dans les faces du cube (par exemple IK, IJ ou JK).
- Calcul de volume : Appliquer la formule $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$ en identifiant correctement une base et la hauteur associée.
- Représentation plane : Savoir passer d'une vue en perspective cavalière à une figure en vraie grandeur.
Correction détaillée
1. Triangle IFK en vraie grandeur :
Dans le cube, la face supérieure EFGH est un carré. Les arêtes [FE] et [FG] sont donc perpendiculaires. Puisque I appartient à [FE] et K à [FG], le triangle IFK est rectangle en F. On sait que $FE = FG = 6$ cm. I et K étant les milieux, on a $FI = FK = 3$ cm. Le triangle IFK est donc un triangle rectangle et isocèle en F avec des côtés de l'angle droit mesurant 3 cm.
2. Identification du patron :
La pyramide FIJK possède trois faces qui sont des triangles rectangles en F (les triangles FIJ, FJK et FIK) car les arêtes du cube issues de F sont orthogonales. Le Schéma 1 est le patron correct. Il montre bien les trois triangles rectangles isocèles partageant le sommet F, s'articulant autour de la base IJK (qui est un triangle équilatéral de côté $3\sqrt{2}$).
3. Calcul du volume de la pyramide FIJK :
Pour calculer le volume, on choisit le triangle IFK comme base. Son aire est :
$\text{Aire}(IFK) = \frac{FI \times FK}{2} = \frac{3 \times 3}{2} = 4,5 \text{ cm}^2$.
La hauteur correspondante est le segment [FJ], car l'arête [FB] est perpendiculaire à la face (EFG). On a $FJ = 3$ cm.
Le volume est donc :
$V = \frac{4,5 \times 3}{3} = 4,5 \text{ cm}^3$.
Ouverture vers la Première Spécialité
En classe de Première, cet exercice peut être enrichi par l'utilisation d'un repère orthonormé. En posant $F(0,0,0)$, $E(6,0,0)$, $G(0,6,0)$ et $B(0,0,-6)$, on peut déterminer les coordonnées des points I, J et K pour calculer des produits scalaires, l'équation cartésienne du plan (IJK) ou encore la distance d'un point à un plan.