Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet (DNB 2016), constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité Mathématiques. Il mobilise des automatismes fondamentaux indispensables pour aborder sereinement les chapitres sur le Second degré ou le Produit scalaire. L'exercice se divise en trois affirmations indépendantes portant sur le calcul algébrique, la géométrie plane et les variations relatives.

Points de vigilance et notions requises

• Simplification de radicaux : Savoir transformer $\sqrt{175}$ en $5\sqrt{7}$ est crucial pour comparer les longueurs dans l'affirmation 2 sans recourir à des approximations décimales.
• Réciproque du théorème de Pythagore : L'outil standard pour prouver qu'un triangle est rectangle.
• Évolutions et taux de variation : La distinction entre une baisse absolue (en euros) et une baisse relative (en pourcentage) est un classique des mathématiques appliquées.

Correction détaillée

Affirmation 1 : Fausse.
Pour résoudre l'équation $5x + 4 = 2x + 17$, on regroupe les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre :
$5x - 2x = 17 - 4$ soit $3x = 13$.
On obtient $x = \frac{13}{3}$.
Le nombre $\frac{13}{3}$ n'est pas un entier (sa division ne 'tombe pas juste', il vaut environ 4,33). L'affirmation est donc fausse.

Affirmation 2 : Vraie.
Appliquons la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle CDE. Le plus long côté est $DE = 13\sqrt{7}$.
Calculons d'une part $DE^2 = (13\sqrt{7})^2 = 169 \times 7 = 1183$.
Calculons d'autre part la somme des carrés des deux autres côtés :
$CD^2 + CE^2 = (\sqrt{175})^2 + (12\sqrt{7})^2 = 175 + (144 \times 7) = 175 + 1008 = 1183$.
Puisque $DE^2 = CD^2 + CE^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est bien rectangle en C.

Affirmation 3 : Fausse.
Calculons le taux de réduction pour chaque article :
- Pour les lunettes : $\frac{45 - 31,50}{45} = \frac{13,50}{45} = 0,3$, soit une réduction de $30\%$.
- Pour la montre : $\frac{56 - 42}{56} = \frac{14}{56} = \frac{1}{4} = 0,25$, soit une réduction de $25\%$.
Le pourcentage de réduction sur la montre ($25\%$) est inférieur à celui pratiqué sur les lunettes ($30\%$). L'affirmation de Manu est donc erronée.