Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente base de révision pour le programme de Première Spécialité Mathématiques. Il mobilise des compétences fondamentales sur les polynômes du second degré et les fonctions affines, tout en intégrant une dimension numérique via l'utilisation d'un tableur. Pour un élève de Première, l'enjeu est de faire le lien entre l'expression algébrique d'une fonction et sa représentation tabulaire, tout en maîtrisant la syntaxe des formules de calcul.
Points de vigilance et notions de cours
- Notation fonctionnelle : Ne pas confondre l'image (le résultat $y$) et l'antécédent (la valeur de départ $x$).
- Syntaxe Tableur : En mathématiques, on écrit $2x+1$, mais dans un tableur comme Excel ou LibreCalc, il faut impérativement utiliser l'astérisque pour la multiplication :
=2*B1+1. - Inéquations : Savoir comparer deux lignes de valeurs pour identifier les intervalles ou les points discrets où une fonction est strictement inférieure à une autre.
- Calcul de carrés : Vigilance sur les parenthèses lors du calcul de $(-2)^2$, qui doit être positif.
Correction détaillée de l'exercice
1. Image de 3 par la fonction $f$
Pour calculer l'image de 3 par $f(x) = 2x + 1$, on remplace $x$ par 3 :
$f(3) = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
L'image de 3 par la fonction $f$ est 7.
2. Calcul de la valeur en C3
La cellule C3 correspond à $g(-2)$ car la colonne C correspond à $x = -2$ et la ligne 3 à la fonction $g$.
$g(-2) = (-2)^2 + 4 \times (-2) - 5$
$g(-2) = 4 - 8 - 5$
$g(-2) = -9$.
Le nombre qui doit apparaître dans la cellule C3 est $-9$.
3. Formule saisie dans la cellule B2
La cellule B2 doit calculer $f(x)$ pour $x$ situé en B1. L'expression de $f(x)$ est $2x + 1$. La formule à saisir est donc : =2*B1+1.
4. Solution de l'inéquation $2x + 1 < x^2 + 4x - 5$
On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles la valeur de $f(x)$ (ligne 2) est strictement inférieure à la valeur de $g(x)$ (ligne 3).
En observant le tableau :
- Pour $x=2$ : $f(2)=5$ et $g(2)=7$. On a bien $5 < 7$.
- Pour $x=3$ : $f(3)=7$ et $g(3)=16$. On a bien $7 < 16$.
Une solution possible de l'inéquation est donc 2 (ou 3).
5. Antécédent de 1 par la fonction $f$
Chercher un antécédent de 1 par $f$ revient à résoudre l'équation $f(x) = 1$ :
$2x + 1 = 1$
$2x = 0$
$x = 0$.
L'antécédent de 1 par la fonction $f$ est 0.
Ouverture vers le programme de Première Spécialité
Pour aller plus loin, un élève de Première peut étudier le signe de la différence $d(x) = g(x) - f(x) = x^2 + 2x - 6$. En calculant le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-6) = 28$, on peut déterminer précisément sur quel intervalle la parabole se situe au-dessus de la droite. Cette approche analytique complète l'approche par lecture de tableau présentée ici.