Analyse de l'énoncé : La modélisation au cœur du problème

Cet exercice, bien qu'extrait d'un sujet de fin de collège, pose les bases de la modélisation géométrique indispensable en Première Spécialité. L'objectif est de vérifier la faisabilité d'une expérience physique en calculant des capacités de contenance. Pour réussir, l'élève doit transformer des données visuelles et textuelles en un modèle mathématique cohérent, en isolant les volumes des solides en présence : un pavé droit (le vase) et des sphères (les billes).

Points de vigilance : Notions de cours requises

• Dimensions intérieures vs extérieures : C'est le piège classique. Un objet possède une épaisseur. Pour obtenir le volume utile, il faut soustraire l'épaisseur des parois. Attention, pour la base, on soustrait deux fois l'épaisseur (gauche et droite), mais pour la hauteur, on ne soustrait qu'une fois l'épaisseur du fond.
• Unités de mesure : Le mélange des centimètres ($cm$) et des litres ($L$) impose une conversion rigoureuse. Rappel crucial : $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$.
• Formule de la sphère : La maîtrise de la formule $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ est attendue, en prenant garde d'utiliser le rayon et non le diamètre.

Guide de résolution détaillé

Étape 1 : Calcul du volume intérieur du vase.
Le vase est un pavé droit. Les dimensions intérieures utiles sont :
\( L = 9 - (0,2 + 0,2) = 8,6 \text{ cm} \)
\( l = 9 - (0,2 + 0,2) = 8,6 \text{ cm} \)
\( h = 21,7 - 1,7 = 20 \text{ cm} \)
Le volume intérieur est donc : \( V_{\text{vase}} = 8,6 \times 8,6 \times 20 = 1479,2 \text{ cm}^3 \).

Étape 2 : Calcul du volume des 150 billes.
Le rayon d'une bille est de \( 1,8 / 2 = 0,9 \text{ cm} \).
Le volume d'une bille est : \( V_{\text{bille}} = \frac{4}{3} \times \pi \times 0,9^3 \approx 3,0536 \text{ cm}^3 \).
Pour 150 billes : \( 150 \times 3,0536 \approx 458,04 \text{ cm}^3 \).

Étape 3 : Conclusion.
Le volume total après ajout d'un litre d'eau (soit \( 1000 \text{ cm}^3 \)) est :
\( V_{\text{total}} = 1000 + 458,04 = 1458,04 \text{ cm}^3 \).
Puisque \( 1458,04 < 1479,2 \), Antoine peut ajouter l'eau sans risque de débordement.

Analyse critique pour la Spécialité

En Première Spécialité, cet exercice pourrait être prolongé par une étude de fonction. On pourrait par exemple demander d'exprimer le niveau de l'eau en fonction du nombre de billes ajoutées, transformant ce problème de géométrie statique en un problème d'analyse fonctionnelle. La précision du résultat dépend également de l'approximation de \( \pi \), une notion importante dans la gestion des erreurs d'arrondi.