Analyse de l'énoncé : Statistiques et Contrôle Qualité
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2016, constitue une excellente révision pour le programme de Première Spécialité, notamment pour consolider les bases des variables aléatoires et des indicateurs de position et de dispersion. L'objectif est d'évaluer la conformité d'une machine industrielle de conditionnement de bonbons en s'appuyant sur trois critères statistiques précis : la moyenne, l'étendue et l'écart interquartile.
Points de vigilance et notions de cours
Pour résoudre cet exercice, plusieurs compétences fondamentales en statistiques descriptives sont mobilisées :
- La Moyenne ($ar{x}$) : Elle représente la valeur centrale théorique. Pour une série pondérée, on utilise la formule : $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$, où $n_i$ est l'effectif et $x_i$ la valeur.
- L'Étendue : C'est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série. Elle mesure la dispersion totale.
- Les Quartiles (Q1 et Q3) : Le premier quartile est la plus petite valeur telle qu'au moins 25% des données soient inférieures ou égales. Le troisième quartile correspond à 75%.
- L'Écart Interquartile : Calculé par $Q3 - Q1$, il mesure la dispersion des 50% centraux de la population, étant moins sensible aux valeurs extrêmes que l'étendue.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Calcul du nombre moyen de bonbons :
Calculons d'abord l'effectif total $N = 4 + 36 + 53 + 79 + 145 + 82 + 56 + 38 + 7 = 500$.
Somme totale des bonbons = $56 \times 4 + 57 \times 36 + 58 \times 53 + 59 \times 79 + 60 \times 145 + 61 \times 82 + 62 \times 56 + 63 \times 38 + 64 \times 7 = 30027$.
Moyenne = $30027 / 500 = 60,054$. Le critère 1 (entre 59,9 et 60,1) est donc respecté.
2. Calcul de l'étendue :
La valeur maximale est 64 et la valeur minimale est 56. Étendue = $64 - 56 = 8$. Puisque $8 \le 10$, le critère 2 est respecté.
3. Détermination de l'écart interquartile :
Pour Q1 ($500/4 = 125$ème valeur) : En calculant les effectifs cumulés croissants (4, 40, 93, 172...), on constate que la 125ème valeur se trouve dans la catégorie '59 bonbons'. Donc $Q1 = 59$.
Pour Q3 ($500 \times 0,75 = 375$ème valeur) : Les effectifs cumulés jusqu'à 60 sont de 317. En ajoutant les 82 paquets de 61 bonbons, on arrive à 399. La 375ème valeur est donc 61. Donc $Q3 = 61$.
Écart interquartile = $61 - 59 = 2$. Comme $2 \le 3$, le critère 3 est respecté.
Conclusion : La machine respecte les trois critères de qualité et peut donc être validée par l'entreprise.