Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'initialement posé dans un cadre de fin de collège, constitue une excellente introduction aux études de fonctions complexes en Première Spécialité Mathématiques. La courbe représentée suit une forme classique de pharmacocinétique, modélisée par une fonction de la forme $f(t) = k \cdot t \cdot e^{-t}$. L'objectif est de mobiliser des compétences de lecture graphique pour interpréter le comportement d'un principe actif dans le sang, ce qui préfigure l'étude des variations et de la convexité.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs points techniques sont essentiels :

• Conversion des unités de temps : Une erreur classique consiste à confondre 2h30 avec 2,3 heures sur l'axe des abscisses. Rappelez-vous que $30 \text{ min} = 0,5 \text{ h}$. Il faut donc lire l'image de $x = 2,5$.
• Précision de la lecture : Les pointillés du graphique (le quadrillage) sont vos meilleurs alliés. Identifiez bien l'échelle : ici, chaque graduation majeure en ordonnée vaut 10 mg/L, avec des subdivisions de 2 mg/L.
• Notion d'efficacité : Mathématiquement, cela revient à résoudre l'inéquation $f(t) \geq 5$. Graphiquement, on cherche l'amplitude de l'intervalle où la courbe est au-dessus de la droite horizontale d'ordonnée 5.

Correction détaillée

1. Détermination du maximum : En observant le sommet de la courbe (le point où la tangente serait horizontale), on constate que la valeur la plus haute est atteinte pour $x = 1$. La quantité de principe actif est donc maximale au bout de 1 heure.

2. Quantité au bout de 2h30 : On se place à $x = 2,5$ sur l'axe des abscisses (entre 2,4 et 2,6 sur le quadrillage). En remontant verticalement jusqu'à la courbe, puis horizontalement vers l'axe des ordonnées, on lit environ 15 mg/L.

3. Durée d'efficacité : On trace la droite horizontale $y = 5$. La courbe passe au-dessus de cette droite à $t \approx 0,1$ h et repasse en dessous à $t \approx 3,8$ h. La durée d'efficacité est la différence entre ces deux instants : $3,8 - 0,1 = 3,7$. Le médicament est donc efficace pendant environ 3 heures et 42 minutes (car $0,7 \times 60 = 42$).

Approche Première Spécialité

Dans un problème de Première Spécialité, on vous donnerait souvent l'expression algébrique $f(x) = 73,39x e^{-x}$. On vous demanderait alors de calculer la dérivée $f'(x) = 73,39(1-x)e^{-x}$ pour justifier que le maximum est atteint en $x=1$ (car la dérivée s'y annule et change de signe). Cet exercice graphique est donc la base intuitive indispensable avant de passer au calcul formel.