Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'initialement posé au niveau brevet, constitue un excellent rappel pour les élèves de Première Spécialité sur la gestion des proportions et la géométrie dans l'espace. Il s'agit d'analyser une structure de trois cylindres (une pièce montée) où les dimensions sont liées de manière récursive. Dans un contexte de Première, cet exercice peut être interprété comme l'étude d'une suite de rayons et de volumes, illustrant comment une variation linéaire du rayon affecte de manière quadratique le volume total.

Points de vigilance et notions requises

Pour résoudre cet exercice sans erreur, plusieurs points clés doivent être maîtrisés :

• Calcul fractionnaire : Savoir multiplier une valeur par une fraction pour déterminer une proportion de rayon.
• Formule du volume du cylindre : La formule $V = \pi \times R^2 \times h$ doit être appliquée avec précision. L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'élever le rayon au carré.
• Valeur exacte : L'énoncé insiste sur la valeur exacte. Cela signifie qu'il faut conserver la constante $\pi$ dans tous les calculs sans jamais la remplacer par une approximation décimale comme 3,14.
• Simplification de fractions : Pour la question finale, il est impératif de réduire la fraction au maximum en utilisant les critères de divisibilité (par 5, 25, etc.).

Correction détaillée ou guide de résolution

1. Calcul du rayon du gâteau n°2 :

Le rayon $R_1$ du gâteau n°1 est de 30 cm. On nous indique que le rayon $R_2$ du gâteau n°2 est égal aux $2/3$ de celui-ci.
Calcul : $R_2 = 30 \times \frac{2}{3} = \frac{60}{3} = 20$ cm.

2. Calcul du rayon du gâteau n°3 :

Le rayon $R_3$ est égal aux $3/4$ du rayon $R_2$.
Calcul : $R_3 = 20 \times \frac{3}{4} = \frac{60}{4} = 15$ cm.

3. Calcul du volume total exact :

Chaque cylindre a une hauteur $h = 10$ cm. Calculons les volumes individuels :

• $V_1 = \pi \times 30^2 \times 10 = \pi \times 900 \times 10 = 9000\pi$ cm³
• $V_2 = \pi \times 20^2 \times 10 = \pi \times 400 \times 10 = 4000\pi$ cm³
• $V_3 = \pi \times 15^2 \times 10 = \pi \times 225 \times 10 = 2250\pi$ cm³

Le volume total est la somme : $V_{total} = 9000\pi + 4000\pi + 2250\pi = 15250\pi$ cm³. Nous avons bien démontré la valeur attendue.

4. Fraction du volume total :

On cherche le rapport $\frac{V_2}{V_{total}}$.
$\frac{4000\pi}{15250\pi} = \frac{4000}{15250}$. En simplifiant par 10, on obtient $\frac{400}{1525}$.
En divisant par 25 (car 400 et 1525 sont multiples de 25), on trouve $\frac{16}{61}$. La fraction est irréductible car 61 est un nombre premier.