Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, mobilise des compétences fondamentales de la classe de Première Spécialité en géométrie plane et en calcul de grandeurs. Il s'agit de décomposer une figure complexe en éléments géométriques simples (rectangles et triangles rectangles) pour déterminer des longueurs manquantes et calculer un périmètre total. L'aspect final sur la vitesse moyenne permet de travailler les conversions et la comparaison de ratios.
Points de vigilance
- Identification du triangle rectangle : Le point $U$ est crucial. Il faut comprendre que $UT = OB - YT$ et $UN = ON - BY$.
- Conversion du temps : Pour calculer une vitesse en m/s, le temps doit impérativement être converti en secondes ($10 \text{ min } 42 \text{ s} = 642 \text{ s}$).
- Précision : L'énoncé demande un arrondi au centième, il faut donc garder suffisamment de décimales durant les calculs intermédiaires.
Correction Détaillée
1. Calcul de la longueur NT :
On place le point $U$ tel que le triangle $NUT$ soit rectangle en $U$. Les mesures sont :
$UN = ON - OU = 234 - 90 = 144\text{ m}$.
$UT = OU - YT = 155 - 25 = 130\text{ m}$.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $NUT$ :
$NT^2 = UN^2 + UT^2 = 144^2 + 130^2 = 20736 + 16900 = 37636$.
Donc $NT = \sqrt{37636} = 194\text{ m}$.
2. Longueur d'un tour :
Le périmètre est donné par la somme des côtés : $BY + YT + TN + NO + OB$.
$P = 90 + 25 + 194 + 234 + 155 = 698\text{ m}$.
3. Longueur totale (4 tours) :
$L = 698 \times 4 = 2792\text{ m}$.
4. Vitesse moyenne de Terii :
$T = 10 \times 60 + 42 = 642\text{ s}$.
$V = \frac{2792}{642} \approx 4,35\text{ m/s}$.
5. Comparaison avec Georges Richmond :
Vitesse de Richmond : $d = 15000\text{ m}$, $t = 55 \times 60 + 11 = 3311\text{ s}$.
$V_{Richmond} = \frac{15000}{3311} \approx 4,53\text{ m/s}$.
Comme $4,35 < 4,53$, Terii ne pourrait probablement pas battre le champion sur une telle distance.