Analyse de l'énoncé et Enjeux Mathématiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, constitue une excellente introduction ou révision pour le chapitre sur le Second degré en classe de Première Spécialité. Il permet de travailler la transition entre un algorithme textuel (programme de calcul) et une expression algébrique complexe. L'enjeu est de comprendre comment une suite d'opérations simples génère une fonction polynôme de la forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$.
Points de vigilance et notions de cours
- La notion d'antécédent : Chercher quel nombre choisir pour obtenir un résultat revient à résoudre l'équation $f(x) = y$.
- Le signe d'un carré : Un point crucial abordé ici est la propriété fondamentale selon laquelle, dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$, le carré d'un nombre est toujours positif ou nul ($x^2 \ge 0$).
- Équations de type $x^2 = k$ : Si $k > 0$, l'équation possède deux solutions : $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$.
Correction détaillée
1. Application du programme de calcul
Pour $x = 3$ : $(3 + 5)^2 = 8^2 = 64$.
Pour $x = -7$ : $(-7 + 5)^2 = (-2)^2 = 4$.
2. Recherche d'antécédents et limites
a. Pour obtenir 25 : On cherche $x$ tel que $(x + 5)^2 = 25$. On sait que $5^2 = 25$ et $(-5)^2 = 25$. Donc $x + 5 = 5$ (soit $x = 0$) ou $x + 5 = -5$ (soit $x = -10$).
b. Pour obtenir -25 : C'est impossible. Un carré est toujours positif ou nul dans $\mathbb{R}$. L'équation $(x + 5)^2 = -25$ n'admet aucune solution réelle.
3. Étude de la fonction $f$
a. Identification : En traduisant le programme, on ajoute 5 à $x$ ($x+5$), puis on élève au carré. La fonction est donc $x \longmapsto (x + 5)^2$.
b. Vérification : Calculons l'image de $-2$. $f(-2) = (-2 + 5)^2 = 3^2 = 9$. L'affirmation est donc vraie : $-2$ est bien un antécédent de $9$.
4. Résolution algébrique
L'équation $(x + 5)^2 = 25$ équivaut à $(x + 5)^2 - 5^2 = 0$. En utilisant l'identité remarquable $a^2 - b^2$, on obtient :
$((x + 5) - 5)((x + 5) + 5) = 0 \implies x(x + 10) = 0$.
Les solutions sont $x = 0$ et $x = -10$. Ce sont les deux nombres de départ permettant d'obtenir 25.