Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'issu initialement d'un sujet de fin de collège, constitue un excellent rappel pour les élèves de Première Spécialité. Il sollicite des compétences fondamentales en géométrie plane et en trigonométrie, des notions qui sont réinvesties dans le cadre du produit scalaire ou de l'étude du cercle trigonométrique en classe de Première. L'enjeu ici est de mobiliser des théorèmes classiques du collège pour résoudre des problèmes de configuration géométrique complexe.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs prérequis sont indispensables :

• Propriétés du triangle isocèle : Dans un triangle isocèle, la bissectrice de l'angle au sommet est aussi la médiatrice de la base et passe par le centre du cercle circonscrit.
• Théorème du triangle inscrit : Tout triangle dont le plus grand côté est un diamètre du cercle circonscrit est un triangle rectangle.
• Trigonométrie dans le triangle rectangle : La maîtrise des formules de base (CahSohToa), notamment le cosinus, est nécessaire pour le calcul de longueurs.
• Théorème des angles inscrits : Deux angles inscrits dans un même cercle qui interceptent le même arc ont la même mesure.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Mesure de l'angle BAM

Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$. Dans un triangle isocèle, le centre $O$ du cercle circonscrit appartient à l'axe de symétrie du triangle, qui est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$. Puisque le point $M$ appartient à la droite $(OA)$, la droite $(AM)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$. Par conséquent :
$\widehat{BAM} = \frac{1}{2} \times \widehat{BAC} = \frac{50}{2} = 25^{\circ}$.

2. Nature du triangle BAM

Par construction, $[AM]$ est un diamètre du cercle $(C)$ puisque la droite passe par le centre $O$ et que $A$ et $M$ sont sur le cercle. Le triangle $BAM$ est inscrit dans le cercle $(C)$ et l'un de ses côtés, $[AM]$, est un diamètre du cercle. D'après le théorème de la géométrie plane, le triangle $BAM$ est donc un triangle rectangle en B.

3. Calcul de la longueur AM

Dans le triangle $BAM$ rectangle en $B$, nous pouvons utiliser les relations trigonométriques. Nous connaissons l'angle $\widehat{BAM} = 25^{\circ}$ et la longueur du côté adjacent $AB = 5$ cm. Nous cherchons l'hypoténuse $AM$.
$\cos(\widehat{BAM}) = \frac{AB}{AM}$
$AM = \frac{AB}{\cos(25^{\circ})} = \frac{5}{\cos(25^{\circ})}$
À l'aide de la calculatrice, on trouve $AM \approx 5,516...$ soit environ 5,5 cm (arrondi au dixième).

4. Mesure de l'angle BKC

Les points $A, B, C, K$ appartiennent tous au même cercle $(C)$. Les angles $\widehat{BKC}$ et $\widehat{BAC}$ sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle $\text{BC}$. D'après le théorème des angles inscrits, ils ont la même mesure. On en déduit que :
$\widehat{BKC} = \widehat{BAC} = 50^{\circ}$.