Analyse de l'énoncé : Modélisation d'une recette

Cet exercice propose une étude concrète de l'économie d'une revue à travers deux types de fonctions : une fonction affine pour modéliser la demande (le nombre d'abonnés) et une fonction polynomiale de degré 2 pour modéliser la recette. L'enjeu est de comprendre le lien entre le prix unitaire, le volume de vente et la santé financière de l'éditeur. En mathématiques de Première Spécialité, cela illustre parfaitement le chapitre sur le second degré et l'optimisation.

Points de vigilance et notions requises

• Fonction Affine vs Linéaire : Une fonction affine $f(x) = ax + b$ est linéaire seulement si $b = 0$. Ici, l'ordonnée à l'origine est 1250, ce qui exclut la proportionnalité.
• Calcul de la recette : La recette est le produit du prix par le nombre d'abonnés : $R(x) = x \times A(x)$.
• Lecture graphique : Attention aux échelles des axes sur les graphiques de $A$ et $R$.
• Maximum d'une parabole : Pour une fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$, le sommet de la parabole est atteint en $x = -b/2a$.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Proportionnalité : Le nombre d'abonnés n'est pas proportionnel au prix car la représentation graphique de la fonction $A$ est une droite qui ne passe pas par l'origine. Algébriquement, $A(0) = 1250 \neq 0$.

2. Calcul de $A(10)$ : $A(10) = -50 \times 10 + 1250 = -500 + 1250 = 750$. Interprétation : Si le prix de la revue est fixé à 10 €, l'éditeur aura 750 abonnés.

3. Nature de la fonction $R$ : La fonction $R(x) = -50x^2 + 1250x$ est une fonction polynomiale de degré 2 (forme $ax^2 + bx$). Ce n'est pas une fonction affine car le terme en $x^2$ n'est pas nul.

4. Maximisation de la recette : En observant le sommet de la parabole bleue, on constate que la recette est maximale pour un prix $x$ situé au milieu de l'intervalle $[0 ; 25]$, soit $x = 12,50$ €. La recette maximale avoisine alors 7 800 €.

5. Antécédents de 6 800 : En traçant une droite horizontale à $y = 6800$ sur le second graphique, on lit les abscisses des points d'intersection : $x \approx 8$ et $x \approx 17$. Cela signifie qu'un prix de 8 € ou de 17 € génère la même recette.

6. Cas particulier $x = 5$ :
Nombre d'abonnés : $A(5) = -50(5) + 1250 = 1000$.
Recette : $R(5) = 5 \times 1000 = 5000$ €.