Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'initialement posé au niveau collège, constitue une base fondamentale pour les élèves de Première Spécialité. En effet, la maîtrise de la géométrie plane et des propriétés des quadrilatères est un prérequis indispensable pour aborder le chapitre sur la géométrie repérée et le produit scalaire. L'exercice se divise en trois phases : une phase de construction géométrique, une phase de calcul de longueur utilisant le théorème de Pythagore, et une phase de démonstration logique s'appuyant sur les propriétés des angles.
Points de vigilance et notions de cours requises
- Théorème de Pythagore : Il est impératif de bien identifier l'hypoténuse dans le triangle rectangle avant d'appliquer la formule $a^2 + b^2 = c^2$.
- Propriétés caractéristiques du rectangle : Un rectangle peut être défini de plusieurs façons. La plus courante en démonstration directe repose sur la présence de trois angles droits dans un quadrilatère.
- Raisonnement déductif : L'élève doit être capable de lier les données de l'énoncé (les perpendicularités tracées) aux définitions mathématiques rigoureuses.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de la longueur BC : Dans le triangle ABC rectangle en C, le côté [AB] est l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore, nous avons l'égalité suivante : $AB^2 = AC^2 + BC^2$. En remplaçant par les valeurs numériques fournies : $10^2 = 8^2 + BC^2$, soit $100 = 64 + BC^2$. On en déduit que $BC^2 = 100 - 64 = 36$. Puisque BC représente une longueur (valeur positive), on a $BC = \sqrt{36} = 6$ cm.
2. Nature du quadrilatère MFCE : Pour prouver que MFCE est un rectangle, listons les informations sur ses angles :
- L'angle $\widehat{ECF}$ est un angle droit car le triangle ABC est rectangle en C par hypothèse.
- L'angle $\widehat{MEC}$ est un angle droit car la droite (ME) est tracée perpendiculairement à (AC).
- L'angle $\widehat{MFC}$ est un angle droit car la droite (MF) est tracée perpendiculairement à (BC).
Le quadrilatère MFCE possède donc trois angles droits.
3. Choix de la proposition : La proposition la plus directe et adaptée aux données recueillies est la Proposition 3 : « Si un quadrilatère a 3 angles droits alors c'est un rectangle ». Bien que la Proposition 1 soit mathématiquement correcte, elle exigerait de prouver l'existence d'un quatrième angle droit au préalable, ce qui est inutile ici.
L'importance de la figure et ouverture vers la Première
Une construction précise est un outil de vérification puissant. En Première Spécialité, ce type d'exercice peut être transposé dans un repère orthonormé. Par exemple, si l'on pose $C(0 ; 0)$, $A(0 ; 8)$ et $B(6 ; 0)$, on peut utiliser les vecteurs pour prouver les orthogonalités ou calculer les coordonnées du point M. La transition vers la géométrie vectorielle s'appuie sur ces connaissances de base en géométrie euclidienne.