Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien que situé au carrefour des cycles, mobilise des compétences fondamentales de calcul algébrique indispensables en classe de Première Spécialité Mathématiques. La capacité à valider ou invalider une affirmation par une démonstration rigoureuse est au cœur du programme. Nous abordons ici l'arithmétique, la manipulation des radicaux et la maîtrise du développement polynomial.
Points de vigilance et prérequis
- Arithmétique : Savoir identifier le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) sans confusion avec le PPCM.
- Radicaux : Comprendre que $(ab)^n = a^n b^n$, une erreur classique consistant à oublier d'élever le coefficient multiplicateur au carré.
- Développement : Maîtriser l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Affirmation sur le PGCD : 36 est un multiple de 18 ($18 \times 2 = 36$). Par conséquent, le plus grand diviseur commun entre 18 et 36 est 18 lui-même. Affirmation FAUSSE.
2. Affirmation sur les fractions : Calculer le double revient à multiplier par 2. On a $2 \times \frac{9}{4} = \frac{18}{4}$. En simplifiant par 2 le numérateur et le dénominateur, nous obtenons bien $\frac{9}{2}$. Affirmation VRAIE.
3. Affirmation sur les racines carrées : Appliquons la règle des puissances : $(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \times (\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45$. Le résultat n'est pas 15. Affirmation FAUSSE.
4. Affirmation sur l'égalité algébrique : Développons les deux membres séparément. D'une part, le membre de gauche est une identité remarquable : $(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$. D'autre part, développons le membre de droite : $9 + 2x(2x+3) = 9 + 4x^2 + 6x$. On constate que $4x^2 + 12x + 9 \neq 4x^2 + 6x + 9$ pour tout $x$ non nul (la différence réside dans le terme en $x$). Affirmation FAUSSE.
Conseils de méthode pour le jour J
Pour réussir ce type d'exercice, ne vous contentez jamais de répondre par vrai ou faux au hasard. En mathématiques, la justification est le moteur de la note. Pour l'affirmation 4, une méthode alternative efficace est d'utiliser un contre-exemple : si $x=1$, le membre de gauche vaut $25$ alors que le membre de droite vaut $9 + 2(5) = 19$. Un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une égalité est fausse pour 'tous les nombres x'.