Analyse de l'énoncé

Cet exercice, extrait du sujet de 2013 en Polynésie, se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) à quatre questions. Bien qu'issu d'un contexte de fin de collège, il constitue un test d'automatismes indispensable pour un élève de Première Spécialité. Il balaye des domaines variés : le calcul numérique avec puissances de 10, la gestion des grandeurs physiques (vitesse, distance, temps), les propriétés de géométrie dans l'espace (agrandissement et volume) et enfin le calcul littéral (factorisation via identités remarquables).

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir ce type d'exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs points clés :

• La priorité des opérations et l'écriture décimale : Il est crucial de ne pas se laisser piéger par les puissances de 10 au dénominateur.
• La conversion des unités de temps : Savoir passer d'un format décimal (0,02 h) à un format sexagésimal (minutes et secondes).
• Les coefficients d'agrandissement : Rappeler que si les longueurs sont multipliées par k, les aires le sont par k² et les volumes par k³.
• L'identité remarquable de la différence de deux carrés : Savoir reconnaître $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ instantanément.

Correction détaillée et guide de résolution

Question 1 : Calculons l'expression $\frac{15 - 0,009}{500}$. Le numérateur vaut $14,991$. En divisant par $500$, nous obtenons $0,029982$. Pour l'écrire sous une forme proposée, on remarque que $0,029982 = 29,982 \times 10^{-3}$. La réponse correcte est la B.

Question 2 : On utilise la relation $t = d / v$. Ici, $d = 800$ m = $0,8$ km et $v = 40$ km/h. On trouve $t = 0,8 / 40 = 0,02$ heure. Pour convertir en secondes, on multiplie par $3600$ : $0,02 \times 3600 = 72$ secondes. Sachant que $60$ s = $1$ min, on a $1$ min $12$ s. La réponse correcte est la A.

Question 3 : Le volume d'un cube d'arête $c$ est $V = c^3$. Si l'arête devient $3c$, le nouveau volume est $V' = (3c)^3 = 3^3 \times c^3 = 27c^3$. Le volume est donc multiplié par $27$. La réponse correcte est la C.

Question 4 : L'expression $25x^2 - 16$ est une différence de deux carrés : $(5x)^2 - 4^2$. En appliquant l'identité $a^2 - b^2$, on obtient $(5x - 4)(5x + 4)$. La réponse correcte est la C.