Analyse de l'énoncé

Cet exercice classique, initialement posé au DNB, constitue une excellente introduction aux problèmes d'optimisation rencontrés en Première Spécialité. Il s'agit de transformer une plaque de métal carrée de 40 cm de côté en une boîte sans couvercle. Le paramètre variable est la longueur $x$ du côté des carrés découpés aux quatre coins. Cette situation se modélise par une fonction polynôme du troisième degré exprimant le volume $V(x)$.

Points de vigilance et notions requises

• Intervalle de définition : La longueur du côté ne peut pas dépasser la moitié du côté du carré initial ($2x < 40$), donc $x \in [0 ; 20]$.
• Modélisation du volume : Le volume d'un parallélépipède rectangle est donné par $V = L \times l \times h$. Ici, la base est un carré de côté $(40 - 2x)$ et la hauteur est $x$.
• Lecture graphique : Savoir repérer un extremum (maximum) et résoudre graphiquement une équation du type $f(x) = k$.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Valeurs possibles de $x$ : Comme on découpe deux carrés de côté $x$ sur une longueur de 40 cm, il faut que $2x \le 40$, soit $x \le 20$. De plus, une longueur est positive. Donc $x \in [0 ; 20]$.

2. Calcul pour $x = 5$ : Si $x = 5$, la base de la boîte mesure $40 - 2(5) = 30$ cm. Le volume est $V = 30 \times 30 \times 5 = 4500$ cm³.

3. Analyse graphique :

• Maximum : Sur le graphique, le sommet de la courbe semble atteint pour $x \approx 6,7$ (valeur exacte $\frac{20}{3}$ par dérivation). Le volume maximal est alors d'environ 4740 cm³.
• Volume de 2000 cm³ : En traçant la droite horizontale $y = 2000$, on trouve deux points d'intersection. Les antécédents sont approximativement $x \approx 1,5$ cm et $x \approx 12,8$ cm.

Note pour la Première Spécialité : Pour prouver ces résultats, on dériverait la fonction $V(x) = x(40-2x)^2$. En développant, $V(x) = 4x^3 - 160x^2 + 1600x$. Sa dérivée $V'(x) = 12x^2 - 320x + 1600$ permet de trouver précisément l'abscisse du maximum en cherchant la racine située dans $[0;20]$.