Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la géométrie dans l'espace, plus précisément sur le calcul de volume d'un tronc de cône. Bien que le sujet soit issu d'une annale de 2013, les compétences testées sont essentielles pour un élève de Première Spécialité : vision spatiale, utilisation de l'homothétie pour déterminer des dimensions manquantes, et maîtrise des conversions d'unités (du cm³ au litre).
Points de vigilance et notions requises
- Le tronc de cône : Il faut comprendre qu'un tronc de cône n'est pas une forme dont on apprend généralement la formule par cœur, mais le résultat de la soustraction d'un petit cône à un grand cône.
- Le théorème de Thalès : Pour trouver le rayon de la base inférieure de la cavité (le petit cône), il est nécessaire d'utiliser la proportionnalité des dimensions (Thalès dans les triangles semblables formés par la section du cône).
- Unités de volume : La conversion capitale à retenir est 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³.
Correction détaillée
1. Calcul du volume d'une cavité :
La cavité est un tronc de cône issu d'un cône de hauteur $H = 12$ cm et de rayon de base $R = 7,5 / 2 = 3,75$ cm. Le cône supérieur (la partie vide) a une hauteur $h = 12 - 4 = 8$ cm. Par proportionnalité (ou théorème de Thalès), le rayon $r$ de sa base est :
$r = R \times (h / H) = 3,75 \times (8 / 12) = 3,75 \times (2/3) = 2,5$ cm.
Calculons les volumes :
• $V_{grand} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (3,75)^2 \times 12 = 4 \pi \times 14,0625 = 56,25\pi \approx 176,7$ cm³.
• $V_{petit} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2,5)^2 \times 8 = \frac{8}{3} \pi \times 6,25 \approx 52,4$ cm³.
Le volume de la cavité est $V = V_{grand} - V_{petit} = 56,25\pi - \frac{50}{3}\pi = \frac{118,75}{3}\pi \approx 124,35$ cm³.
Le volume d'une cavité est donc bien d'environ 125 cm³.
2. Problème de la pâte à muffins :
Léa a 1 L de pâte, soit 1 000 cm³. Elle remplit 9 cavités au 3/4.
Volume nécessaire pour une cavité : $125 \times 0,75 = 93,75$ cm³.
Volume total pour 9 cavités : $9 \times 93,75 = 843,75$ cm³.
Puisque $843,75 < 1000$, Léa a suffisamment de pâte pour ses 9 muffins.