Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un contexte de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales en Géométrie repérée et en gestion des grandeurs composées (vitesse, distance, temps) qui sont essentielles en classe de Première Spécialité. L'objectif est de localiser précisément l'île d'Aratika sur un plan à l'aide de données textuelles et de contraintes géométriques. Le problème repose sur l'hypothèse d'une vitesse moyenne constante pour tous les vols, ce qui permet d'établir une relation de proportionnalité entre le temps de trajet et la distance réelle.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les notions suivantes :
- Proportionnalité : Utilisation de la formule $d = v \times t$ ou d'un tableau de proportionnalité pour convertir un temps de vol en distance kilométrique.
- Conversion d'unités : Passer des heures et minutes en minutes décimales (ex: 1h15min = 75min) pour simplifier les calculs.
- Échelle et construction : Interpréter les coordonnées fournies dans le bloc pspicture et utiliser le compas pour matérialiser des lieux géométriques (cercles de rayons donnés).
- Géométrie plane : L'intersection de deux lieux géométriques (cercles) définit des positions potentielles, affinées par une contrainte de direction (le Nord).
Correction détaillée et guide de résolution
La résolution se décompose en trois étapes majeures : le calcul de la distance Tahiti-Aratika, la détermination de l'échelle de la carte, puis la construction géométrique.
1. Calcul de la distance réelle Tahiti-Aratika
D'après les documents, nous savons que Tahiti-Rangiroa représente 355 km pour 55 minutes de vol. La vitesse moyenne est donc :
$v = \frac{355}{55} \approx 6,45$ km/min.
Le vol Tahiti-Aratika dure 1h15, soit 75 minutes. La distance $d$ séparant Tahiti d'Aratika est donc :
$d = \frac{355}{55} \times 75 \approx 484$ km.
2. Analyse de l'échelle graphique
En utilisant les coordonnées du repère (pspicture), on peut calculer la distance 'unité' sur le graphique. Tahiti est au point (8 ; 1,2) et Rangiroa au point (12,1 ; 6,5). La distance graphique entre elles est :
$dist = \sqrt{(12,1 - 8)^2 + (6,5 - 1,2)^2} = \sqrt{4,1^2 + 5,3^2} = \sqrt{16,81 + 28,09} \approx 6,7$ unités.
Ainsi, 6,7 unités graphiques correspondent à 355 km réels. L'échelle est d'environ 1 unité = 53 km.
3. Localisation d'Aratika
Aratika se situe à l'intersection de deux cercles :
- Un cercle de centre Tahiti et de rayon $484 / 53 \approx 9,1$ unités.
- Un cercle de centre Fakarava (16,7 ; 4,6) et de rayon $50 / 53 \approx 0,94$ unité.
L'énoncé précise qu'Aratika est au Nord de Fakarava. Il suffit donc de tracer l'arc de cercle de 50 km autour de Fakarava et de choisir le point situé au-dessus de l'île, tout en vérifiant la distance par rapport à Tahiti.