Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'extrait d'un sujet de 2013, constitue un excellent entraînement pour les élèves de Première Spécialité Mathématiques. Il sollicite la capacité de modélisation, une compétence transversale essentielle pour aborder les chapitres sur les fonctions polynômes et les suites numériques. L'enjeu est de traduire un problème concret (une somme d'argent répartie en billets) en un langage mathématique rigoureux.
Points de vigilance et notions de cours
Pour résoudre ce type de problème, plusieurs étapes sont cruciales :
- Choix des variables : Il faut définir clairement ce que représentent les inconnues (ici, le nombre de billets de chaque valeur).
- Traduction du texte en équations : La lecture attentive permet d'identifier deux contraintes : une contrainte de quantité (21 billets) et une contrainte de valeur (125 €).
- Résolution algébrique : La maîtrise des méthodes de substitution ou de combinaison linéaire est requise.
- Vérification de la cohérence : En mathématiques appliquées, les solutions doivent être des entiers naturels.
Guide de résolution détaillé
Désignons par $x$ le nombre de billets de 5 € et par $y$ le nombre de billets de 10 €.
Le système d'équations s'écrit :
- (1) $x + y = 21$ (total des billets)
- (2) $5x + 10y = 125$ (valeur totale en euros)
Pour résoudre, on peut exprimer $y$ en fonction de $x$ dans l'équation (1) : $y = 21 - x$. En remplaçant $y$ dans l'équation (2), on obtient :
$5x + 10(21 - x) = 125$
$5x + 210 - 10x = 125$
$-5x = 125 - 210$
$-5x = -85 \Rightarrow x = 17$.
On calcule ensuite $y$ : $y = 21 - 17 = 4$.
Conclusion : Arthur possède 17 billets de 5 € et 4 billets de 10 €.
Pourquoi cet exercice est-il pertinent en Première ?
En Première Spécialité, la manipulation d'équations est le socle de l'étude du second degré. Savoir isoler une variable et substituer des expressions prépare l'élève à l'utilisation du discriminant et à la résolution d'inéquations complexes. Ce type d'exercice renforce la rigueur nécessaire pour les démonstrations futures.