Analyse de l'énoncé
Cet exercice, extrait du sujet Amérique du Nord 2013, porte sur l'étude géométrique d'un polygone régulier : le Pentagone. Bien qu'initialement posé au niveau brevet, ses concepts fondamentaux (angles au centre, trigonométrie, propriétés des triangles isocèles) constituent le socle nécessaire pour aborder le programme de Première Spécialité, notamment le chapitre sur la trigonométrie circulaire et les coordonnées polaires.
Points de vigilance et notions requises
- Angles au centre : Un pentagone régulier divise un cercle de 360° en 5 arcs égaux. La mesure de l'angle au centre est donc le point de départ crucial.
- Triangle Isocèle : Il est impératif de reconnaître que le triangle OAB est isocèle car deux de ses sommets appartiennent au cercle de centre O. Cela permet d'utiliser les propriétés de symétrie de la hauteur.
- Configuration de la calculatrice : Pour cet exercice utilisant les degrés, la calculatrice doit être paramétrée en mode 'Degré' et non 'Radian', une confusion fréquente en classe de Première.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ : Un tour complet représente 360°. Comme le pentagone est régulier, ses 5 angles au centre sont égaux. On a donc $\widehat{\text{AOB}} = 360 / 5 = 72^{\circ}$.
2. a) Justification des propriétés de (OM) : Dans le triangle OAB, OA = OB = 238 m (rayons du cercle). Le triangle OAB est donc isocèle en O. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est confondue avec la bissectrice de l'angle au sommet et la médiatrice de la base. Ainsi, (OM) est bien la bissectrice de $\widehat{\text{AOB}}$ et la médiatrice de [AB].
2. b) Calcul de AM : Puisque (OM) est la bissectrice de $\widehat{\text{AOB}}$, l'angle $\widehat{\text{AOM}} = 72 / 2 = 36^{\circ}$. Dans le triangle OAM rectangle en M, on utilise le sinus : $\sin(\widehat{\text{AOM}}) = \frac{\text{AM}}{\text{OA}}$. D'où $\text{AM} = 238 \times \sin(36^{\circ})$. À la calculatrice, $\text{AM} \approx 139,89$ m, ce qui donne environ 140 m.
2. c) Périmètre du Pentagone : Le point M étant le milieu de [AB], on a $AB = 2 \times AM \approx 280$ m. Le périmètre est la somme des 5 côtés égaux : $P = 5 \times 280 = 1400$ m.
Lien avec le programme de Première Spécialité
Cet exercice préfigure l'étude du cercle trigonométrique. En Première, on apprendrait à exprimer ces longueurs à l'aide de radians (72° valant $2\pi/5$ radians) et à manipuler les fonctions cosinus et sinus dans des contextes de géométrie repérée. La capacité à décomposer un polygone en triangles élémentaires est une compétence clé pour le calcul de produits scalaires complexes.