Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, extrait des annales de Nouvelle-Calédonie 2013, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Bien que les notions abordées soient fondamentales, elles constituent le socle de la réussite en Première Spécialité Mathématiques. En effet, la fluidité dans la manipulation des puissances de dix, des fractions et des radicaux est indispensable pour aborder des chapitres plus denses tels que le Second Degré ou les Suites numériques. Un élève de Première doit être capable de traiter ces questions sans hésitation pour consacrer son temps aux raisonnements plus complexes de l'analyse ou de la géométrie.

Points de vigilance : Notions de cours requises

Pour réussir ce type d'exercice, plusieurs compétences transversales sont mobilisées :

• Ordres de grandeur et unités de mesure : Il est crucial de posséder un sens physique des grandeurs. Une vitesse de 4 m/s (environ 14,4 km/h) est irréaliste pour une fourmi, tandis que 4 km/s relève de la vitesse de libération planétaire.
• Notation scientifique : La compréhension de la puissance de dix ($10^n$) permet de situer des objets dans l'infiniment grand ou l'infiniment petit. La distance Terre-Lune est un classique des exercices de physique-chimie et de mathématiques.
• Calcul fractionnaire : La simplification de fractions par la recherche de diviseurs communs (critères de divisibilité par 5, 25 ou 125) évite l'usage systématique de la calculatrice.
• Simplification des radicaux : L'extraction de carrés parfaits sous la racine est une étape systématique lors du calcul du discriminant $\Delta$ dans le chapitre sur le second degré.

Guide de résolution détaillé

Question 1 : Une fourmi est un petit insecte. Sa vitesse doit être exprimée en centimètres par seconde pour être cohérente. 4 m/s correspondrait à un sprinter, et 4 km/s à un missile. La réponse logique est donc 4 cm/s (Réponse C).

Question 2 : La distance moyenne Terre-Lune est d'environ 384 400 km. En déplaçant la virgule de 5 rangs vers la gauche pour obtenir un nombre entre 1 et 10, on obtient $3,844 \times 10^5$. La réponse B ($10^{-5}$) correspondrait à une distance microscopique, et la C à seulement 3,8 km. Réponse A.

Question 3 : Pour simplifier $\frac{125}{625}$, on peut remarquer que $625 = 125 \times 5$ (ou procéder par étapes : division par 5, puis 5, puis 5). On a $\frac{125}{625} = \frac{125 \times 1}{125 \times 5} = \frac{1}{5}$. La réponse A est fausse car $6 \times 125$ ne donne pas 625. Réponse B.

Question 4 : On cherche à simplifier $\sqrt{12}$. On décompose 12 en un produit contenant un carré parfait : $12 = 4 \times 3$. En utilisant la propriété $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, on obtient $\sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. Notez que $4\sqrt{3}$ serait égal à $\sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48}$. Réponse C.

Lien avec le programme de Première Spécialité

Pourquoi s'exercer sur ces points ? Dans le chapitre sur le Second Degré, lorsque vous résolvez une équation avec un discriminant $\Delta = 12$, vous devez impérativement savoir que $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{3}$ pour simplifier vos racines $x_1$ et $x_2$. De même, la manipulation des puissances de dix est le préambule nécessaire à l'étude des suites géométriques de raison très grande ou très petite. La rigueur sur ces calculs de base est le meilleur rempart contre les erreurs d'inattention dans les devoirs surveillés.