Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, traite de thématiques fondamentales du programme de Première Spécialité Mathématiques : l'étude des variables aléatoires et la loi des grands nombres. L'expérience consiste en un double tirage avec remise implicite (car les boules proviennent de deux urnes distinctes) : une boule noire numérotée de 1 à 4 et une boule blanche numérotée (2, 3, 5). L'objet d'étude est la variable aléatoire $S$ correspondant à la somme des deux numéros.

Points de vigilance et notions de cours

• Modélisation de l'univers : Il est crucial d'identifier que l'univers $\Omega$ est composé de $4 \times 3 = 12$ issues équiprobables.
• Simulation sur tableur : La compréhension des formules de tableur (références relatives) est une compétence attendue. Savoir passer de l'effectif à la fréquence est la base des statistiques.
• Estimation de probabilité : L'exercice illustre la convergence de la fréquence vers la probabilité théorique lorsque la taille de l'échantillon $n$ augmente.

Guide de résolution détaillé

1. Analyse des premières expériences

a) L'expérience n°3 correspond au tirage d'une boule noire n°2 et d'une boule blanche n°3. La somme obtenue est bien $2 + 3 = 5$.

b) Dans la case D5, on calcule la somme des colonnes B et C pour la ligne 4. La formule correcte est =B5+C5 (ou éventuellement SOMME(B5:C5), mais =B5+C5 est la plus directe).

c) La plus petite somme possible est obtenue avec les plus petits numéros : $1$ (noire) et $2$ (blanche), soit $1 + 2 = 3$. Il est donc impossible d'obtenir la somme 2.

d) Pour obtenir une somme de 4, les couples possibles sont $(1 ; 3)$ et $(2 ; 2)$. La plus grande somme possible est $4 + 5 = 9$.

2. Analyse des fréquences et loi des grands nombres

a) Pour $n=50$, l'effectif de la somme 9 est 2. La fréquence est donc $f = 2/50 = 0,04$.

b) En B7, pour calculer la fréquence à partir de l'effectif situé en B6 et de l'effectif total en I6, on utilise =B6/I6 ou =B6/1000.

c) En observant les résultats pour $n=5000$, la fréquence de la somme 3 est environ $0,081$. Théoriquement, il n'y a qu'une issue $(1 ; 2)$ sur 12 possibles. $P(S=3) = 1/12 \approx 0,0833$. L'estimation $0,08$ est donc excellente.