Vue fiche unique

Exercice Première Spécialité - 2013 - Ex 6 : Trigonométrie et Géométrie

1 juin 2013 Troisième (Brevet)

Révise la Trigonométrie avec un cas concret ! 🛹

Plonge dans l'univers du skatepark avec cet exercice pratique ! Tu apprendras à :

Utiliser le Théorème de Pythagore pour calculer des longueurs réelles. 📏
Maîtriser la Trigonométrie pour vérifier des angles de sécurité. 📐
Appliquer des formules techniques comme celle de Blondel pour l'ergonomie.

C'est l'exercice idéal pour faire le pont entre la géométrie du collège et les exigences de la Première Spécialité. Prêt à rider sur les maths ? 🚀

📝 Sujet

📥 Télécharger

✅ Correction

🫣

Correction Masquée

Avez-vous bien cherché l'exercice ?

dnb_2013_09_metropole_6_complet.pdf

Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, mobilise des compétences fondamentales de la classe de Première Spécialité en géométrie plane et trigonométrie. L'objectif est de vérifier la conformité d'une infrastructure sportive (un skatepark) par rapport à des contraintes techniques et de sécurité. Le problème se divise en deux parties : la validation des dimensions d'un escalier via la formule de Blondel et l'étude géométrique d'un plan incliné (une rampe).

Points de vigilance et notions requises

Formule de Blondel : Il s'agit de la relation $60 \le 2h + p \le 65$. Elle permet de s'assurer que l'escalier est ergonomique.
Théorème de Pythagore : Indispensable pour calculer la longueur de la rampe $AD$ dans le triangle rectangle $ABD$.
Trigonométrie (SOHCAHTOA) : Utilisation de la tangente pour déterminer l'angle d'inclinaison de la pente.
Unités : Attention à la conversion entre centimètres et mètres (2,20 m = 220 cm).

Correction détaillée

1. Analyse de l'escalier

La hauteur totale de la structure est de 96 cm. L'escalier est composé de 6 marches identiques. La hauteur $h$ d'une marche est donc :
$h = 96 / 6 = 16$ cm.

D'après le schéma, la profondeur totale de l'escalier (la somme des profondeurs des marches) est représentée par la distance $BC = 55$ cm. Comme il y a 6 marches, la profondeur $p$ d'une marche est :
$p = 55 / 6 \approx 9,17$ cm.

Calculons maintenant la valeur de la relation de Blondel :
$2h + p = 2 \times 16 + 9,17 = 32 + 9,17 = 41,17$ cm.
La norme impose une valeur comprise entre 60 et 65. Ici, $41,17 < 60$. Les normes de construction ne sont donc pas respectées.

2. Analyse du plan incliné

Considérons le triangle $ABD$ rectangle en $B$. La hauteur est $AB = 96$ cm. La base horizontale est $BD = BC + CD = 55 + 150 = 205$ cm.

Calcul de la longueur $AD$ :
D'après le théorème de Pythagore :
$AD^2 = AB^2 + BD^2 = 96^2 + 205^2 = 9216 + 42025 = 51241$.
$AD = \sqrt{51241} \approx 226,36$ cm, soit environ $2,26$ m.
La demande des habitués est entre 2,20 m et 2,50 m. Cette condition est satisfaite.

Calcul de l'angle $\widehat{BDA}$ :
Dans le triangle $ABD$ rectangle en $B$ :
$\tan(\widehat{BDA}) = \frac{AB}{BD} = \frac{96}{205} \approx 0,468$.
À l'aide de la calculatrice, $\widehat{BDA} = \arctan(0,468) \approx 25,1^\circ$.
L'angle doit être compris entre $20^\circ$ et $30^\circ$. Cette condition est également satisfaite.