Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, permet d'aborder des notions fondamentales du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il se décompose en deux grandes parties : un calcul de probabilités (simples et conditionnelles) basé sur un univers fini d'ingrédients de pizzas, et une partie géométrique portant sur la comparaison d'aires de disques. L'enjeu est de savoir modéliser une situation concrète par des outils mathématiques rigoureux.
Points de vigilance et notions requises
- Probabilités simples : Identification correcte de l'univers $\Omega$ (ici, l'ensemble des 5 pizzas).
- Probabilités conditionnelles : Comprendre la restriction de l'univers. Dans la question 2, on ne travaille plus sur l'ensemble des pizzas, mais uniquement sur celles ayant une base crème.
- Dénombrement : Pour la question 3, il s'agit de dénombrer les combinaisons de deux pizzas parmi cinq, une notion clé du chapitre de probabilités.
- Géométrie plane : La formule de l'aire d'un disque $A = \pi \times r^2$ doit être maîtrisée, en faisant attention à ne pas confondre diamètre et rayon.
Guide de résolution détaillé
1. Probabilité de présence de champignons
L'univers comporte 5 pizzas. Les pizzas contenant des champignons sont : Classique, Montagnarde et Broussarde. Il y a donc 3 cas favorables sur 5 cas possibles. La probabilité est $P = \frac{3}{5} = 0,6$.
2. Probabilité conditionnelle (Jambon sachant Crème)
On restreint l'univers aux pizzas à base de crème : Montagnarde, Lagon, Broussarde (soit 3 pizzas). Parmi ces 3 pizzas, seule la Montagnarde contient du jambon. La probabilité est donc de $\frac{1}{3} \approx 0,33$.
3. Composition de deux pizzas
Pour avoir des champignons sur toute la pizza composée de deux moitiés, il faut choisir deux variétés contenant des champignons parmi les trois disponibles (Classique, Montagnarde, Broussarde). Le nombre de paires possibles de pizzas distinctes parmi 5 est $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$. Les paires favorables sont {Classique, Montagnarde}, {Classique, Broussarde} et {Montagnarde, Broussarde}, soit 3 paires. La probabilité est $P = \frac{3}{10} = 0,3$.
4. Comparaison des aires
Calculons l'aire des pizzas :
- Deux pizzas moyennes (diamètre 30 cm, soit $r=15$ cm) : $2 \times (\pi \times 15^2) = 2 \times 225\pi = 450\pi \approx 1414 \text{ cm}^2$.
- Une grande pizza (diamètre 44 cm, soit $r=22$ cm) : $\pi \times 22^2 = 484\pi \approx 1520 \text{ cm}^2$.
Puisque $484\pi > 450\pi$, on a plus à manger en commandant une grande pizza.