Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, est une excellente illustration de la modélisation mathématique appliquée aux enjeux environnementaux. En classe de Première Spécialité, il permet de travailler la notion de suites géométriques et de croissance exponentielle. L'énoncé nous présente une grandeur physique évoluant selon un taux constant, ce qui suggère immédiatement l'utilisation d'une progression géométrique.
Points de vigilance et notions de cours
- Coefficient multiplicateur : Une augmentation de 10 % correspond à multiplier par (1 + 10/100), soit 1,1. C'est l'erreur la plus commune chez les élèves qui tentent d'ajouter 10 % de la valeur initiale chaque année (croissance linéaire).
- Modélisation : Soit (U_n) la superficie à l'année n. On a U_{n+1} = U_n * 1,1. C'est la définition d'une suite géométrique de raison q = 1,1.
- Terme général : La formule U_n = U_0 * q^n est indispensable pour répondre à la question 3 sans effectuer de calculs itératifs fastidieux.
Correction détaillée
1. Calcul de la superficie initiale :
La France a une superficie de 550 000 km². La poubelle géante est 6 fois plus grande.
Superficie = 6 * 550 000 = 3 300 000 km².
2. Superficie après un an :
On applique une hausse de 10 %.
3 300 000 * (1 + 10/100) = 3 300 000 * 1,1 = 3 630 000 km².
3. Analyse de l'affirmation sur 4 ans :
L'affirmation prétend que la superficie aura doublé après 4 ans. Utilisons la raison de la suite. Soit U_0 la superficie initiale. Après 4 ans, la superficie est U_4 = U_0 * (1,1)^4.
Calculons le coefficient multiplicateur total : 1,1^4 = 1,4641.
Pour que la superficie double, il aurait fallu que ce coefficient soit supérieur ou égal à 2. Or, 1,4641 < 2.
L'affirmation est donc fausse. La superficie n'aura augmenté que de 46,41 % environ.