Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet Amérique du Nord 2013, porte sur la géométrie plane et plus précisément sur le calcul d'aire d'une figure usuelle : le trapèze. L'objectif est double : d'une part, tester la capacité de l'élève à décomposer une figure complexe en éléments simples (rectangles, triangles) ou à appliquer une formule connue ; d'autre part, valider la compréhension conceptuelle d'une formule littérale via un format QCM justifié.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs notions de géométrie de base sont nécessaires :
- Identification des éléments d'un trapèze : la grande base ($B$), la petite base ($b$) et la hauteur ($h$).
- Décomposition d'aires : un trapèze peut être vu comme la réunion d'un rectangle et de deux triangles rectangles.
- Homogénéité des formules : une aire est toujours le produit de deux dimensions linéaires (ou le carré d'une longueur), ce qui permet d'écarter certaines erreurs de calcul.
Correction détaillée et guide de résolution
1. a) Méthode de calcul de l'aire
Il existe deux approches principales pour calculer l'aire du trapèze ABCD :
- Soit on applique la formule directe : $A = \frac{(B+b) \times h}{2}$.
- Soit on décompose la figure. On peut tracer les hauteurs issues de A et B sur le segment [DC]. On obtient ainsi un rectangle central et deux triangles rectangles sur les côtés. L'aire totale est la somme des aires de ces trois figures.
1. b) Calcul numérique
D'après les coordonnées implicites et les indications du schéma :
- La grande base $B$ (segment [DC]) mesure $7$ cm.
- La petite base $b$ (segment [AB]) se calcule par la différence des positions horizontales : le point B est à l'abscisse 4 et le point A à l'abscisse 1, donc $b = 4 - 1 = 3$ cm.
- La hauteur $h$ est donnée par la valeur verticale, soit $3$ cm.
En appliquant la formule : $A = \frac{(7 + 3) \times 3}{2} = \frac{10 \times 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$ cm².
2. Choix de la formule
La formule correcte est $A = \frac{(b + B)h}{2}$.
- La première proposition $(b . B)h / 2$ est fausse car elle impliquerait un produit de trois longueurs (volume) si on ne divise pas correctement, et ne correspond pas à l'addition des bases.
- La troisième $2(b + B)h$ surestime largement la surface (elle correspondrait à quatre fois l'aire réelle).
La formule juste représente la moyenne des bases multipliée par la hauteur.