Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, permet de travailler la rigueur mathématique et l'application d'un algorithme de calcul complexe. L'objectif est de manipuler une formule faisant intervenir des racines carrées et des fractions tout en gérant des conversions d'unités (mètres en centimètres). En Première Spécialité, cette capacité à traduire un énoncé concret en modèle mathématique est fondamentale pour aborder des thèmes comme les fonctions de référence ou les suites.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs points sont cruciaux :

• La conversion des unités : La formule de Mosteller exige une taille en centimètres ($cm$). Or, le tableau fournit des tailles en mètres ($m$). Il faut donc multiplier par 100 avant tout calcul.
• La gestion des priorités opératoires : Le calcul sous la racine carrée doit être effectué intégralement avant d'extraire la racine.
• La double contrainte de posologie : Il ne suffit pas de calculer la dose théorique ($70 \text{ mg} \times S$); il faut aussi vérifier que cette dose ne dépasse pas le plafond de $70 \text{ mg}$ par jour.

Guide de résolution détaillé

1. Cas de Joé :

• Taille : $1,50 \text{ m} = 150 \text{ cm}$. Masse : $50 \text{ kg}$.
• Surface corporelle : $S_{Joé} = \sqrt{\frac{150 \times 50}{3600}} = \sqrt{\frac{7500}{3600}} = \sqrt{2,0833...} \approx 1,44 \text{ m}^2$.
• Calcul de la dose théorique : $1,44 \times 70 = 100,8 \text{ mg}$.
• Analyse critique : L'énoncé précise que la dose ne doit pas dépasser $70 \text{ mg}$ par jour. On lui a administré $100 \text{ mg}$. La posologie n'est donc pas respectée car elle dépasse le plafond journalier de $70 \text{ mg}$.

2. Cas de Lou :

• Taille : $1,05 \text{ m} = 105 \text{ cm}$. Masse : $17,5 \text{ kg}$.
• Surface corporelle : $S_{Lou} = \sqrt{\frac{105 \times 17,5}{3600}} = \sqrt{\frac{1837,5}{3600}} \approx \sqrt{0,5104} \approx 0,7144 \text{ m}^2$. On retrouve bien la valeur arrondie de $0,71 \text{ m}^2$ demandée.
• Calcul de la dose théorique : $0,71 \times 70 = 49,7 \text{ mg}$.
• Analyse critique : La dose administrée est de $50 \text{ mg}$. Cette valeur est très proche de la dose théorique calculée ($49,7 \approx 50$) et reste inférieure au plafond de $70 \text{ mg}$. La posologie est donc respectée.