Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège (DNB), mobilise des compétences fondamentales en trigonométrie et en statistiques descriptives, essentielles pour aborder sereinement le programme de Première Spécialité. La première partie demande une modélisation géométrique dans un triangle rectangle, tandis que la seconde traite du traitement de données.

Points de vigilance et notions requises

• Trigonométrie : Il est crucial d'identifier le triangle rectangle pertinent (ici, le triangle formé par le mur, le sol et la ligne de visée). La relation $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}}$ est l'outil clé ici.
• Statistiques : La distinction entre moyenne (somme pondérée) et médiane (valeur centrale) doit être parfaitement maîtrisée. Pour la médiane, n'oubliez jamais de ranger la série par ordre croissant.

Guide de résolution détaillé

1. Géométrie et Trigonométrie

Soit $M$ le pied du mur, $C$ le centre de la cible et $P$ le pied du joueur. Le triangle $CMP$ est rectangle en $M$. Nous connaissons $CM = 1,73$ m et l'angle $\widehat{CPM} = 36,1^\circ$. Nous cherchons la distance $PM$.

Dans le triangle $CMP$ rectangle en $M$ :
$\tan(\widehat{CPM}) = \frac{CM}{PM} \implies PM = \frac{CM}{\tan(36,1^\circ)}$
$PM = \frac{1,73}{\tan(36,1^\circ)} \approx 2,372$ m.

La distance calculée est de $2,372$ m. Puisque cette distance est supérieure à $2,37$ m, la sonnerie ne se déclenchera pas (bien que ce soit de justesse).

2. Statistiques

• Moyenne de Rémi : $\frac{40+35+85+67+28+74+28}{7} = \frac{357}{7} = 51$ points.
• Score de Nadia (partie 6) : Soit $x$ ce score. On a $\frac{12+62+7+100+81+x+30}{7} = 51 \implies 292 + x = 357 \implies x = 65$. Nadia a obtenu 65 points.
• Médianes :
  Pour Rémi (série ordonnée : 28, 28, 35, 40, 67, 74, 85), la médiane est la 4ème valeur : 40.
  Pour Nadia (série ordonnée : 7, 12, 30, 62, 65, 81, 100), la médiane est la 4ème valeur : 62.