Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, constitue un excellent support pour les élèves de Première Spécialité souhaitant consolider leur maîtrise des probabilités discrètes et leur raisonnement logique. L'énoncé repose sur un univers fini de 10 étiquettes, chacune représentant une propriété géométrique spécifique. L'objectif est double : calculer des probabilités simples dans une situation d'équiprobabilité et mobiliser des connaissances théoriques sur les quadrilatères particuliers (parallélogramme, losange, rectangle, carré).
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, il est crucial de bien lire les étiquettes. L'usage du mot « seulement » est un piège classique : il indique une exclusion. Par exemple, « deux angles droits seulement » exclut les rectangles. Voici les notions clés :
- L'univers (Ω) : L'ensemble des 10 étiquettes.
- Équiprobabilité : Chaque étiquette a une probabilité de 1/10 d'être tirée.
- Propriétés des quadrilatères : Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Il possède des diagonales de même longueur ET perpendiculaires se coupant en leur milieu.
- Logique : La conjonction « et » implique que les deux conditions doivent être satisfaites simultanément.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Calculs de probabilités
L'univers comporte $n = 10$ issues possibles.
a) Il y a une seule étiquette « Diagonales égales ». La probabilité est donc $P = \frac{1}{10} = 0,1$.
b) Trois étiquettes contiennent le mot « diagonales » : « Diagonales égales », « Diagonales qui se coupent en leur milieu » et « Diagonales perpendiculaires ». La probabilité est $P = \frac{3}{10} = 0,3$.
c) En examinant la liste, aucune étiquette ne comporte à la fois les mots « côtés » et « diagonales ». Il s'agit d'un événement impossible. La probabilité est $P = 0$.
2. Raisonnement géométrique
a) Analyse de l'affirmation de Julie : Madjid a raison de douter. Pour obtenir un carré, il ne suffit pas que les diagonales soient perpendiculaires et égales ; elles doivent également se couper en leur milieu. Un contre-exemple est le cerf-volant dont les diagonales seraient de même longueur par hasard, mais ne se couperaient pas en leur milieu.
b) Figure de Julie : Elle a tiré « Côtés opposés parallèles » (caractérise un parallélogramme) et « Quatre côtés égaux » (caractérise un losange). Un parallélogramme ayant quatre côtés égaux est un losange.
3. L'impossibilité de Lionel
Lionel a tiré « Deux côtés égaux seulement » et « Quatre angles droits ». Or, posséder quatre angles droits définit un rectangle. Par définition, un rectangle possède ses côtés opposés égaux deux à deux. Il est donc impossible d'avoir « seulement » deux côtés égaux (soit il en a 4 égaux s'il est un carré, soit il en a 2 paires d'égaux). La figure est irréalisable.