Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente base de révision pour le chapitre sur le second degré en classe de Première Spécialité. Il mobilise des compétences clés : l'évaluation d'une expression algébrique, la lecture de données tabulaires (tableur) et la modélisation géométrique. L'expression étudiée est un trinôme du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a=2$, $b=-3$ et $c=-9$.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être maîtrisées :

• Évaluation algébrique : Attention aux priorités opératoires, notamment le calcul du carré avant la multiplication par le coefficient $a$.
• Lecture de tableur : Savoir associer les antécédents (colonne A) et les images (colonne B).
• Développement et Géométrie : Comprendre que l'aire d'un rectangle est le produit de ses dimensions et savoir développer une expression de type $(ax+b)(cx+d)$.
• Contraintes de domaine : Dans un problème géométrique, une longueur doit toujours être strictement positive, ce qui restreint l'ensemble de définition de $x$.

Correction détaillée

1. Calcul pour x = 6 :
On remplace $x$ par 6 dans l'expression $2x^2 - 3x - 9$.
$2 \times 6^2 - 3 \times 6 - 9 = 2 \times 36 - 18 - 9 = 72 - 27 = 45$.
La valeur obtenue en B17 sera donc 45.

2. Recherche des racines (solutions de l'équation égale à 0) :
En observant la colonne B du tableur, on cherche les cellules affichant 0. On trouve deux valeurs de $x$ correspondantes : -1,5 et 3.

3. Problème géométrique :
L'aire du rectangle ABCD est donnée par le produit de sa longueur par sa largeur :
$\text{Aire} = (2x + 3)(x - 3)$.
En développant : $2x^2 - 6x + 3x - 9 = 2x^2 - 3x - 9$.
On remarque que cette expression correspond exactement à celle de la colonne B. On cherche donc $x$ tel que $2x^2 - 3x - 9 = 5$.
D'après le tableur, l'image est 5 pour $x = -2$ ou $x = 3,5$.
Or, pour que le rectangle existe, ses côtés doivent avoir des longueurs positives : $x - 3 > 0 \implies x > 3$.
La seule solution viable est donc x = 3,5 cm.