Analyse de l'énoncé
Cet exercice propose une étude géométrique classique : l'inscription d'un carré MNPQ dans un carré fixe ABCD de côté 4 cm. La position du point M sur le segment [AB] détermine la surface du carré intérieur. Bien que l'énoncé initial demande une lecture graphique simple, cet exercice est un support idéal pour appliquer les notions de Polynômes du Second Degré du programme de Première Spécialité. La courbe représentée est une parabole, traduisant une variation quadratique de l'aire en fonction de la longueur AM.
Points de vigilance et notions requises
- Domaine de définition : Puisque M appartient au segment [AB] de longueur 4, la variable x = AM est restreinte à l'intervalle [0 ; 4].
- Lecture d'antécédents : Pour déterminer quand l'aire vaut 10, il faut chercher les valeurs de x dont l'image par la fonction est 10 (résolution graphique de f(x) = 10).
- Lecture d'image : Pour x = 0,5, on cherche l'ordonnée du point de la courbe correspondant.
- Sommet de la parabole : Le point le plus bas de la courbe représente le minimum de la fonction.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Détermination des valeurs de AM pour une aire de 10 cm² : En traçant une ligne horizontale à l'ordonnée y = 10, nous coupons la courbe en deux points. En projetant ces points sur l'axe des abscisses, nous obtenons AM = 1 cm et AM = 3 cm. Mathématiquement, cela correspond aux racines de l'équation f(x) = 10.
2. Aire pour AM = 0,5 cm : En partant de l'abscisse 0,5 sur l'axe horizontal et en rejoignant la courbe verticalement, nous lisons une ordonnée située à 12,5. L'aire est donc de 12,5 cm². (Calcul de vérification : 2(0,5)² - 8(0,5) + 16 = 0,5 - 4 + 16 = 12,5).
3. Optimisation de l'aire (Minimum) : Le graphique montre que le point le plus bas (le sommet S) est atteint pour AM = 2 cm. À cette position, l'aire minimale est de 8 cm². En cours, on apprend que pour une fonction f(x) = ax² + bx + c, ce sommet est atteint en x = -b/(2a). Ici, avec f(x) = 2x² - 8x + 16, on a bien x = 8/4 = 2.
Lien avec le programme de Première Spécialité
Ce problème de géométrie dynamique illustre la mise en équation d'un problème concret. On peut démontrer que l'aire f(x) = AM² + AQ². En posant AM = x et en observant que AQ = 4 - x par symétrie, on obtient f(x) = x² + (4 - x)² = 2x² - 8x + 16. La maîtrise de la forme canonique et de l'étude des variations est essentielle pour justifier rigoureusement les observations graphiques faites ici.