Analyse de l'énoncé : La modélisation par les ordres de grandeur
Cet exercice, bien qu'initialement posé lors d'une session de Brevet, constitue un excellent test de réflexes pour un élève de Première Spécialité Mathématiques. Il ne s'agit pas ici de résolution d'équations complexes ou de dérivation, mais de modélisation algorithmique de données réelles. L'enjeu est de structurer une suite d'opérations logiques pour passer d'un débit instantané (par seconde) à une capacité annuelle globale, tout en gérant des unités hétérogènes (mètres cubes, litres, mois, années).
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir ce type d'exercice, plusieurs compétences transversales du programme de spécialité sont sollicitées :
- Maîtrise des puissances de 10 : Les nombres manipulés dépassent les milliards ; l'usage de la notation scientifique est impératif pour éviter les erreurs de saisie.
- Conversions d'unités de volume : Il est crucial de se rappeler que $1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ L}$.
- Analyse dimensionnelle : Transformer un débit en volume total nécessite une multiplication par une durée exprimée dans la même unité de temps.
Guide de résolution détaillé
La résolution peut être décomposée en trois étapes majeures, semblables à la structure d'un script Python que l'on pourrait écrire pour automatiser ce calcul.
1. Calcul du volume annuel de l'Amazone
Le débit est de $190\,000 \text{ m}^3/s$. Convertissons-le d'abord en Litres : $190\,000 \times 1\,000 = 1,9 \times 10^8 \text{ L/s}$.
Calculons ensuite le nombre de secondes dans une année (365 jours) :
$T = 365 \times 24 \times 3\,600 = 31\,536\,000 \text{ s}$. En notation scientifique, on arrondira à $3,15 \times 10^7 \text{ s}$.
Le volume total annuel $V_{total}$ est donc :
$V_{total} \approx (1,9 \times 10^8) \times (3,15 \times 10^7) \approx 6 \times 10^{15} \text{ Litres}$.
2. Calcul de la consommation annuelle d'un foyer
Un foyer consomme $10\,000 \text{ L/mois}$. Sur un an (12 mois), la consommation est de :
$V_{foyer} = 10\,000 \times 12 = 120\,000 \text{ L/an}$, soit $1,2 \times 10^5 \text{ L/an}$.
3. Détermination de l'ordre de grandeur
Le nombre de foyers $N$ est le quotient du volume total par la consommation individuelle :
$N = \frac{6 \times 10^{15}}{1,2 \times 10^5} = 5 \times 10^{10}$.
Conclusion : Le fleuve Amazone pourrait alimenter environ 50 milliards de foyers en un an. L'ordre de grandeur est de $10^{10}$ ou $10^{11}$ selon les arrondis de temps choisis (année bissextile ou non).
Pourquoi cet exercice en Première ?
L'introduction de l'algorithmique et du langage Python en classe de Première demande aux élèves de savoir décomposer un problème complexe en étapes simples. Cet exercice est le parfait exemple d'un algorithme de type "Séquence" où chaque résultat intermédiaire est stocké dans une variable avant d'aboutir au résultat final. C'est aussi un excellent entraînement pour la physique-chimie, discipline souvent associée à la spécialité mathématiques.