Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'une base de type brevet, mobilise des compétences fondamentales pour la Première Spécialité : la modélisation algébrique d'un processus itératif (algorithme débranché) et l'étude d'une fonction affine (polynôme de degré 1). L'enjeu est de passer d'un langage naturel à une expression littérale, puis de valider cette dernière par une approche graphique dans un repère orthogonal.
Points de vigilance et notions requises
- Priorités opératoires : Ne pas oublier les parenthèses lors de la multiplication du résultat intermédiaire : $( -2x + 4 ) \times 4$.
- Lecture graphique : Identifier l'ordonnée à l'origine (coefficient $b$) et la racine (valeur où $f(x)=0$) pour différencier les courbes.
- Résolution d'équation : Maîtriser le passage du terme constant et le traitement du coefficient multiplicateur négatif.
Correction détaillée
1. Calcul avec 1 : $(1 \times -2) + 4 = 2$, puis $2 \times 4 = 8$. Le résultat est bien 8.
2. Calcul avec -2 : $(-2 \times -2) + 4 = 4 + 4 = 8$, puis $8 \times 4 = 32$.
3. Expression littérale : En partant de $x$, on obtient successivement $-2x$, puis $-2x + 4$, et enfin $4(-2x + 4) = -8x + 16$.
4. Équation : $-8x + 16 = 4 \Leftrightarrow -8x = 4 - 16 \Leftrightarrow -8x = -12 \Leftrightarrow x = \frac{-12}{-8} = 1,5$. Le nombre de départ doit être 1,5.
5. Analyse graphique : La fonction est $f(x) = -8x + 16$. C'est une droite décroissante (car $-8 < 0$). L'ordonnée à l'origine est $f(0) = 16$. L'abscisse à l'origine est $x = 2$ (car $f(2) = -8(2) + 16 = 0$). Seule la Représentation graphique 3 passe par les points $(0 ; 16)$ et $(2 ; 0)$.