Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'ancré dans une problématique de géométrie plane, constitue une introduction parfaite à la modélisation par des fonctions polynomiales, une compétence clé du programme de Première Spécialité. L'objectif est de transformer des contraintes géométriques (dimensions d'un rectangle et d'un carré) en expressions algébriques dépendant d'une variable réelle \(x\). En Première, on portera une attention particulière à l'ensemble de définition : ici, pour que les figures existent, on doit avoir \(x > 0\) et \(16 - 2x > 0\), soit \(x \in ]0 ; 8[\).

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être maîtrisées :

• La définition du périmètre : Ne pas confondre la somme des côtés avec l'aire. Pour le rectangle, \(P = 2(L + l)\).
• La distributivité : Lors de la simplification de l'expression du périmètre du rectangle.
• Lecture de tableur : Comprendre qu'une formule en B2 s'applique à la variable située en B1 pour automatiser les tests numériques.
• Résolution d'équation : Isoler l'inconnue \(x\) dans une égalité de type \(ax + b = cx + d\).

Correction détaillée de l'exercice

Partie A : Avec \(x = 1,5\).

• 1. Le côté du carré est \(2 \times 1,5 = 3\). Le périmètre est donc \(4 \times 3 = 12\) cm.
• 2. \(AB = 16 - 2(1,5) = 16 - 3 = 13\) cm.
• 3. Construction du rectangle de dimensions 1,5 cm sur 13 cm.
• 4. Périmètre du rectangle : \(2(1,5 + 13) = 2 \times 14,5 = 29\) cm. Comme \(12 \neq 29\), les périmètres ne sont pas égaux.

Partie B : Étude du cas général.

• 1. a. Formule en B2 : =4*2*B1 ou =8*B1 (car le côté est \(2x\)).
• 1. b. Le tableau ne montre aucune valeur de \(x\) où les lignes 2 et 3 sont identiques. Cependant, on observe que l'égalité se situe entre \(x=3\) (24 vs 26) et \(x=4\) (32 vs 24).
• 2. a. \(P_{rect} = 2(AD + AB) = 2(x + 16 - 2x) = 2(16 - x) = 32 - 2x\). L'expression est bien démontrée.
• 2. b. On cherche \(x\) tel que \(8x = 32 - 2x\). En ajoutant \(2x\) des deux côtés : \(10x = 32\). D'où \(x = 3,2\) cm.

Interprétation en tant que fonctions

En Première Spécialité, on peut voir cela comme l'intersection de deux fonctions affines : \(f(x) = 8x\) et \(g(x) = -2x + 32\). La solution de l'équation est l'abscisse du point d'intersection de leurs représentations graphiques, illustrant ainsi la transition entre l'algèbre et l'analyse.