Analyse de l'énoncé

Cet exercice propose une mise en situation concrète autour de la gestion d'une piscine. Il s'agit d'une étude de fonction affine, qui constitue la base des polynômes du premier degré. L'élève doit traduire un algorithme de calcul verbal en une expression algébrique, exploiter une représentation graphique et mener une étude de coût énergétique en plusieurs étapes. Cette approche pluridisciplinaire (Mathématiques et Physique-Chimie/Technologie) est typique des épreuves de modélisation.

Points de vigilance (notions de cours requises)

• Modélisation : Savoir transformer une suite d'instructions en une fonction de type \( f(x) = ax + b \).
• Proportionnalité : Comprendre qu'une fonction affine n'est une fonction de proportionnalité (linéaire) que si son ordonnée à l'origine est nulle (\( b = 0 \)).
• Lecture graphique : Identifier l'image d'un nombre et résoudre graphiquement une équation.
• Unités et Conversions : Maîtriser le calcul de l'énergie électrique (\( E = P \times t \)) et la conversion des durées.
• Calendrier : Ne pas oublier que juillet et août comptent chacun 31 jours.

Correction détaillée ou guide de résolution

1. Vérification pour 26°C : Suivons le programme de calcul : \( (26 + 4) \times 0,5 = 30 \times 0,5 = 15 \). Le temps de filtration est bien de 15 heures.

2. Expression algébrique : En partant de la température \( x \), on ajoute 4, ce qui donne \( (x + 4) \). On multiplie ensuite par 0,5. On obtient \( 0,5(x + 4) \), soit en développant : \( 0,5x + 2 \). On a donc bien \( f(x) = 0,5x + 2 \).

3. Analyse de la fonction :
a) La fonction \( f \) est une fonction affine d'ordonnée à l'origine 2. Comme elle ne passe pas par l'origine du repère (0;0), le temps de filtration n'est pas proportionnel à la température.
b) L'image de 10 est \( f(10) = 0,5 \times 10 + 2 = 5 + 2 = 7 \).

4. Résolution de l'équation :
\( 0,5x + 2 = 17 \)
\( 0,5x = 15 \)
\( x = \frac{15}{0,5} = 30 \).
Interprétation : Pour que le temps de filtration soit de 17 heures, la température de l'eau doit être de 30°C.

5. Calcul de la dépense :
- Nombre de jours : Juillet (31) + Août (31) = 62 jours.
- Énergie consommée (Doc 3) : \( 0,8 \text{ kW} \times 16 \text{ h/jour} \times 62 \text{ jours} = 793,6 \text{ kWh} \).
- Coût total : \( 793,6 \times 0,23 = 182,528 \text{ €} \).
Le coût de fonctionnement pour l'été s'élève donc à environ 182,53 €.