Analyse de l'énoncé

Cet exercice, extrait du sujet de Polynésie 2025, propose une étude classique de programme de calcul. Il demande aux élèves de passer d'un raisonnement arithmétique (valeurs numériques) à un raisonnement algébrique (calcul littéral) pour aboutir à l'étude d'une fonction affine. Bien que les notions de base semblent simples, l'analyse des représentations graphiques et la résolution d'équations demandent une rigueur méthodologique propre à la classe de Première.

Points de vigilance

• Priorités opératoires : Lors de l'écriture de l'expression, l'utilisation des parenthèses est cruciale pour multiplier les deux résultats intermédiaires.
• Développement : L'utilisation de la double distributivité pour développer $(x + 4)(x - 2)$ doit être maîtrisée pour simplifier l'expression finale.
• Analyse graphique : Savoir distinguer une fonction du second degré (parabole) d'une fonction affine (droite) et identifier le coefficient directeur.

Guide de résolution et Correction

1. Application numérique : En partant de 5, on ajoute 4 (9) et on soustrait 2 (3). Le produit est $9 \times 3 = 27$. On retire le carré du nombre de départ ($5^2 = 25$), d'où $27 - 25 = 2$.

2. Modélisation algébrique :
a. L'expression correcte est la C : $(x + 4) \times (x - 2) - x^2$.
b. Développement : $f(x) = (x^2 - 2x + 4x - 8) - x^2 = 2x - 8$. Les termes en $x^2$ s'annulent, confirmant la forme affine.

3. Étude de fonction :
a. La représentation n°1 est une parabole (fonction du second degré), elle ne convient pas. La n°2 représente une fonction décroissante (coefficient directeur négatif). La n°3 est la seule droite croissante cohérente avec $f(x) = 2x - 8$.
b. L'image de 4 est $f(4) = 2(4) - 8 = 0$.

4. Équation : On cherche $x$ tel que $2x - 8 = 100$, soit $2x = 108$, d'où $x = 54$.