Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2023, propose une application concrète des notions de géométrie plane. L'objectif est de calculer les quantités de matériaux nécessaires pour l'isolation d'une maison. Bien que les outils mobilisés (Pythagore et Trigonométrie) soient introduits au collège, leur maîtrise parfaite est indispensable en Première Spécialité pour aborder le produit scalaire et la géométrie repérée.
Points de vigilance et notions de cours
- Trigonométrie : Il est crucial de bien identifier l'hypoténuse et les côtés opposés/adjacents. Ici, la valeur de $\sin(30^{\circ}) = 0,5$ est une valeur remarquable à connaître.
- Théorème de Pythagore : Utilisé pour le calcul de la longueur CD, il nécessite la construction mentale d'un triangle rectangle en projetant horizontalement le point C vers le segment [BD].
- Unités et Conversions : L'erreur classique réside dans le calcul du volume de ouate de cellulose. Il faut impérativement convertir l'épaisseur de 10 cm en mètres (0,1 m) avant de multiplier par l'aire.
Correction détaillée
1. Calcul de DE : On sait que AC = 2,5 m et que BE = AC (car ACBE forme un rectangle par projection). Puisque B, E et D sont alignés, on a DE = BD - BE = 4,3 - 2,5 = 1,8 m.
2. Calcul de DF : Dans le triangle DEF rectangle en E, on connaît l'angle $\widehat{EFD} = 30^{\circ}$ et le côté opposé DE = 1,8 m. On utilise le sinus : $\sin(30^{\circ}) = \frac{DE}{DF}$, d'où $DF = \frac{1,8}{\sin(30^{\circ})} = \frac{1,8}{0,5} = 3,6$ m.
3. Nombre de rouleaux : L'aire du toit de la terrasse est $A = 12 \times 3,6 = 43,2$ m². Un rouleau couvre 6 m². Le nombre de rouleaux est $43,2 / 6 = 7,2$. Matthieu doit donc acheter 8 rouleaux.
4. Calcul de CD : Considérons le triangle rectangle formé par C, D et sa projection horizontale sur (BD). La base mesure 8 m et la hauteur est $4,3 - 2,5 = 1,8$ m. D'après Pythagore : $CD^2 = 8^2 + 1,8^2 = 64 + 3,24 = 67,24$. Ainsi, $CD = \sqrt{67,24} = 8,2$ m.
5. Masse de ouate de cellulose : L'aire est $12 \times 8,2 = 98,4$ m². Le volume est $V = 98,4 \times 0,10 = 9,84$ m³. La masse est $M = 9,84 \times 40 = 393,6$ kg.