Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de cycle 4 (DNB 2023), constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité Mathématiques. Il permet de valider la maîtrise des configurations géométriques fondamentales qui seront réinvesties dans les chapitres sur le produit scalaire et la trigonométrie circulaire. L'exercice combine trois piliers de la géométrie plane : le théorème de Thalès, le théorème de Pythagore et les relations trigonométriques dans le triangle rectangle.

Points de vigilance et rappels de cours

• Théorème de Pythagore : Utilisable uniquement dans un triangle rectangle. Pour la question 2, il est crucial d'identifier le triangle ABH comme rectangle grâce au symbole de l'angle droit en H.
• Théorème de Thalès : La condition sine qua non est le parallélisme des droites (MN) et (BC). Il faut également bien identifier le sommet commun (A) pour établir les rapports de proportionnalité.
• Rigueur de la calculatrice : Pour le calcul de l'angle $\widehat{ACH}$, assurez-vous que votre calculatrice est en mode 'Degré' avant d'utiliser la fonction $\arcsin$.

Correction Détaillée et Guide de Résolution

1. Calcul de la longueur AB :
Les points A, M et B sont alignés dans cet ordre. On a donc : $AB = AM + MB = 2,7 + 2,5 = 5,2$ cm.

2. Justification de la longueur AH :
La droite (AH) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC, le triangle ABH est donc rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore : $AB^2 = AH^2 + BH^2$. On isole $AH^2$ : $AH^2 = 5,2^2 - 2^2 = 27,04 - 4 = 23,04$. En prenant la racine carrée, on obtient $AH = \sqrt{23,04} = 4,8$ cm.

3. Calcul de l'angle $\widehat{ACH}$ :
Dans le triangle AHC rectangle en H, on connaît l'hypoténuse AC = 8,5 cm et le côté opposé AH = 4,8 cm. On utilise le sinus : $\sin(\widehat{ACH}) = \frac{AH}{AC} = \frac{4,8}{8,5}$. À l'aide de la calculatrice, $\widehat{ACH} = \arcsin(\frac{4,8}{8,5}) \approx 34,39°$. L'arrondi au degré près donne 34°.

4. Calcul de la longueur HC :
Toujours dans le triangle rectangle AHC, d'après Pythagore : $AC^2 = AH^2 + HC^2$. Soit $8,5^2 = 4,8^2 + HC^2$. $HC^2 = 72,25 - 23,04 = 49,21$. On a $HC = \sqrt{49,21} \approx 7,01$ cm. L'arrondi au cm près donne 7 cm.

5. Vérification de l'affirmation de l'élève :
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles, et les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés. D'après le théorème de Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$. Ainsi, $AN = \frac{AM \times AC}{AB} = \frac{2,7 \times 8,5}{5,2} \approx 4,41$ cm. L'affirmation « AN est inférieure à 4 cm » est donc fausse.

6. Aire du triangle AHC :
L'aire d'un triangle est donnée par $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Pour le triangle AHC : $\text{Aire} = \frac{HC \times AH}{2} = \frac{\sqrt{49,21} \times 4,8}{2} \approx 16,8$ cm².