Analyse de l'énoncé : Une application concrète de la géométrie

Cet exercice, bien que posé dans un contexte de Brevet (DNB 2023), constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité afin de consolider ses acquis sur la modélisation géométrique et la gestion des grandeurs composées (vitesse). L'énoncé nous place dans une situation réelle : une randonnée aux roches de la Ouaïème en Nouvelle-Calédonie. Le parcours est modélisé par un triangle rectangle, et les données sont exprimées sous forme de distances et d'altitudes, nécessitant une conversion mentale constante entre le schéma et la réalité physique.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences fondamentales sont mobilisées :

• La géométrie plane : Il faut savoir justifier le parallélisme de deux droites (théorème des droites perpendiculaires à une même troisième).
• Le théorème de Thalès : C'est l'outil central ici pour déterminer une altitude inconnue dans une configuration en triangles emboîtés.
• Les grandeurs physiques : La relation entre vitesse, distance et temps ($v = d/t$) doit être maîtrisée, notamment pour la gestion des durées en minutes et heures décimales.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Justification du parallélisme : Sur le schéma, on observe que les droites $(PN)$ et $(VM)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(DM)$ (indiqué par les symboles d'angle droit). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Donc $(PN) // (VM)$.

2. Calcul de l'altitude au point P : Puisque les droites $(PN)$ et $(VM)$ sont parallèles et que les points $D, N, M$ d'une part et $D, P, V$ d'autre part sont alignés, nous pouvons appliquer le théorème de Thalès dans les triangles $DPN$ et $DVM$ :
$\frac{DP}{DV} = \frac{DN}{DM} = \frac{PN}{VM}$.
On utilise l'égalité $\frac{DP}{DV} = \frac{PN}{VM}$, soit $\frac{3}{3,8} = \frac{PN}{0,741}$.
En effectuant un produit en croix : $PN = \frac{3 \times 0,741}{3,8} = 0,585$ km (soit 585 mètres).

3. Vitesse moyenne sur [DP] : Fabienne a parcouru 3 km en 2 heures. La vitesse moyenne est donnée par $v = \frac{d}{t} = \frac{3}{2} = 1,5$ km/h.

4. Analyse de la durée totale : La distance restante est $PV = DV - DP = 3,8 - 3 = 0,8$ km. Sa vitesse sur ce tronçon est de $1,2$ km/h. La durée pour parcourir $[PV]$ est $t = \frac{d}{v} = \frac{0,8}{1,2} = \frac{2}{3}$ d'heure. Sachant qu'une heure fait 60 minutes, $t = \frac{2}{3} \times 60 = 40$ minutes. La durée totale du trajet est donc $2\text{ h} + 40\text{ min} = 2\text{ h } 40\text{ min}$. L'estimation était de $2\text{ h } 30\text{ min}$, Fabienne a donc dépassé la durée estimée.