Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'issu d'une base de géométrie plane classique, constitue un excellent rappel des fondamentaux nécessaires pour aborder la Géométrie repérée en Première Spécialité. En Spécialité Mathématiques, la maîtrise des configurations planes (Thalès, Pythagore) et des calculs d'aires est indispensable avant d'introduire le produit scalaire ou les équations de droites et de cercles. L'énoncé nous place dans un contexte de modélisation spatiale où un triangle est segmenté en deux zones : un potager et une zone de jeux.

Points de vigilance et notions de cours

• Théorème de Pythagore : Utilisé pour le calcul de longueurs dans des triangles rectangles. Attention à la rédaction : précisez toujours le triangle et l'angle droit.
• Théorème de Thalès : Crucial pour le calcul de la clôture [EF]. La condition de parallélisme est explicitement donnée dans l'énoncé.
• Calculs d'aires : Il faut différencier l'aire d'un triangle rectangle de celle d'un trapèze. Une erreur fréquente consiste à oublier de diviser par 2.
• Modélisation et budget : La question 4 demande une interprétation concrète. On ne peut pas acheter une fraction de sac ; un arrondi à l'entier supérieur est nécessaire.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul de la longueur CD

Les points C, E et D sont alignés dans cet ordre. On peut donc utiliser l'addition des longueurs : $CD = CE + ED = 30 + 10 = 40$ mètres.

2. Calcul de la longueur CG

Le triangle CDG est rectangle en D puisque les droites (DG) et (CD) sont perpendiculaires. D'après le théorème de Pythagore :
$CG^2 = CD^2 + DG^2 = 40^2 + 24^2 = 1600 + 576 = 2176$.
En prenant la racine carrée, $CG = \sqrt{2176} \approx 46,6$ m (arrondi au dixième).

3. Longueur de la clôture [EF]

Dans le triangle CDG, les points C, E, D sont alignés, ainsi que C, F, G. Comme les droites (EF) et (DG) sont parallèles, nous appliquons le théorème de Thalès :
$\frac{CE}{CD} = \frac{EF}{DG} \Rightarrow \frac{30}{40} = \frac{EF}{24}$.
On en déduit $EF = \frac{30 \times 24}{40} = \frac{3}{4} \times 24 = 18$ m. La clôture mesure bien 18 mètres.

4. Calcul du budget pour le gazon

La zone de jeux est le triangle EFC. Puisque (EF) // (DG) et (DG) $\perp$ (CD), alors (EF) $\perp$ (CE). Le triangle EFC est donc rectangle en E.
Aire(EFC) $= \frac{base \times hauteur}{2} = \frac{CE \times EF}{2} = \frac{30 \times 18}{2} = 270$ m².
Nombre de sacs nécessaires : $270 / 140 \approx 1,93$. Il faut donc acheter 2 sacs.
Budget $= 2 \times 22,90 = 45,80$ €.

5. Comparaison des surfaces

Le potager DEFG est un trapèze de hauteur ED = 10 m.
Aire(DEFG) $= \frac{(EF + DG) \times ED}{2} = \frac{(18 + 24) \times 10}{2} = \frac{42 \times 10}{2} = 210$ m².
Comme $210 < 270$, l'affirmation de la direction est fausse : la zone de jeux est plus grande que le potager.