Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue un excellent support de révision pour un élève de Première Spécialité en ce qui concerne la modélisation mathématique et la gestion de données discrètes. L'exercice est divisé en trois parties indépendantes qui mobilisent des compétences variées : la géométrie dans l'espace (calcul de volume), l'exploitation de données statistiques (diagramme circulaire et pourcentages), et la résolution de problèmes via des moyennes (prémices des suites arithmétiques).
Points de vigilance et notions requises
- Géométrie : Il faut parfaitement maîtriser la formule du volume d'un cylindre de révolution : $V = \pi \times r^2 \times h$. Une erreur fréquente consiste à confondre le rayon et le diamètre.
- Proportionnalité : L'application successive de coefficients (9/10 pour la cire, puis 0,7 pour la masse) demande de la rigueur dans le chaînage des calculs.
- Statistiques : Savoir interpréter un codage géométrique dans un diagramme. Le symbole de l'angle droit indique une part de 25% (un quart du total).
- Moyennes : Comprendre que la moyenne sur $n$ mois multipliée par $n$ donne la production totale cumulée.
Correction détaillée
1. Étude de la bougie :
- a. Volume : Le rayon $r = 3$ cm et la hauteur $h = 12$ cm. Le volume $V = \pi \times 3^2 \times 12 = 108\pi$. À la calculatrice, $108\pi \approx 339,29$ cm³. On retrouve bien la valeur arrondie de $339$ cm³.
- b. Masse de cire : Le volume de cire est $V_{cire} = 339 \times \frac{9}{10} = 305,1$ cm³. La masse est $M = 305,1 \times 0,7 = 213,57$ g. Soit environ **214 g** à l'unité près.
2. Répartition des parfums :
Le diagramme montre des angles droits pour les secteurs 'Vanille' et 'Jasmin', ce qui correspond à $25\%$ chacun ($90/360$). On sait que 'Miel' représente $22\%$. La somme des pourcentages étant égale à $100$, la part de 'Lavande' est : $100 - (25 + 25 + 22) = 100 - 72 = 28\%$.
3. Objectif de production :
Pour obtenir une moyenne de $7900$ bougies sur 3 mois, la production totale doit être de $7900 \times 3 = 23700$ bougies. En appelant $x$ la production de mars, on a : $6500 + 8000 + x = 23700$. D'où $14500 + x = 23700$, soit $x = 23700 - 14500 = 9200$. L'usine doit produire **9200 bougies** en mars.