Analyse de l'énoncé
Cet exercice se présente sous la forme d'un Vrai/Faux avec justification. Il balaye plusieurs compétences fondamentales : la maîtrise de la proportionnalité, la lecture graphique sur une droite graduée (nombres décimaux), l'arithmétique liée aux multiples (engrenages) et le développement algébrique de polynômes du second degré.
Points de vigilance et notions clés
- Calcul Littéral : Le développement d'une double distributivité nécessite une attention particulière aux signes, notamment lors de la réduction.
- Propriétés des Polynômes : Deux expressions polynomiales sont égales si et seulement si leurs coefficients respectifs sont identiques après réduction complète.
- Arithmétique : Pour les engrenages, la condition de retour à la position initiale dépend du nombre total de dents parcourues (multiple commun).
Correction Détaillée
Affirmation 1 : Faux. En vérifiant les rapports prix/quantité : $1,10 / 1 = 1,10$ ; $2,20 / 2 = 1,10$ ; $3,30 / 3 = 1,10$ ; mais $4 / 4 = 1$. Le coefficient n'est pas constant, donc ce n'est pas une situation de proportionnalité.
Affirmation 2 : Vrai. L'unité entre 2 et 3 est partagée en 8 graduations (subticks). Le point A est situé à la deuxième graduation après le chiffre 2. Son abscisse est donc $2 + 2/8 = 2 + 1/4 = 2,25$. 2,25 est un nombre décimal (il possède une écriture décimale finie).
Affirmation 3 : Vrai. La roue A parcourt $6 \times 8 = 48$ dents. La roue B parcourt $4 \times 12 = 48$ dents. Les deux roues ayant parcouru le même nombre de dents, le système revient à sa position initiale.
Affirmation 4 : Vrai. Développons le membre de gauche : $(x + 8)(2x - 1) = 2x^2 - x + 16x - 8 = 2x^2 + 15x - 8$. Développons le membre de droite : $2x^2 - (8 - 15x) = 2x^2 - 8 + 15x = 2x^2 + 15x - 8$. Les deux expressions sont identiques pour tout réel $x$.